Тензора–девиатора илипросто девиатора напряжений

Лекция 3. Теория сложного напряженно-деформированного состояния (НДС) твердого тела

Напряжённое и деформированное состояние частицы тела

Теория НДС ставит своей задачей определение внутренних напряжений, деформаций и перемещений в различных точках деформируемого твёрдого тела произвольной формы и размеров.

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.

Отнесём тело к координатным осям x, y, z и выделим мысленно из него материальную частицу в виде параллелепипеда или кубика размерами dx, dy, dz (рис. 3.1)

а) б)

Рис. 3.1

Действия отброшенной части тела заменим векторами – напряжениями и разложим их на составляющие по координатным осям.

(1)

где e_x, e_y, e_z - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x, y, z; , , - нормальные напряжения, , , , , - касательные напряжения. У касательных напряжений первый индекс указывает на направление его действия, второй индекс – на нормаль к площадке, на которой оно действует. У нормальных напряжений индекс соответствует одновременно как направлению, так и нормали к площадке их действия. На невидимых на рис. 3.1 гранях частицы действуют такие же, но противоположно направленные напряжения.

Совокупность указанных напряжений полностью характеризует напряжённое состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде квадратной матрицы

(2)

и называют тензором напряжений Коши. Система напряжений, приложенных к частице тела, должна удовлетворять условиям равновесия. Первые три условия в проекциях на оси x, y, z дают тождества, т.к. на противоположных гранях мы считаем напряжения равными по величине. Остаётся проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно координатных осей. Составим условие равновесия моментов относительно оси х:

откуда следует Аналогично можно составить два уравнения равновесия моментов относительно осей y и z. В результате получим соотношения:

(3)

которые называют законом парности касательных напряжений: на двух взаимно перепендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, ортогональные их общему ребру, равны по величине и направлены оба либо к ребру, либо от него. На основании этого закона тензор-матрица напряжений является симметричной относительно главной диагонали, состоящей из нормальных напряжений.

Напряжение

(4)

называют средним напряжением. Тензор напряжений, для которого , называется тензором–девиатором напряжений. В общем случае тензор напряжений можно разложить на сумму двух тензоров:

Первый из них

(5)

носит название шарового тензора напряжений, а второй:

(6)

тензора–девиатора илипросто девиатора напряжений.

Иногда компоненты девиатора напряжений обозначают:

Шаровой тензор характеризует напряженное состояние всестороннего растяжения – сжатия частицы тела, а девиатор – напряженное состояние её формоизменения.

На каждую частицу тела кроме напряжений действуют объёмные силы:

,

где R_x, R_y, R_z – проекции этих сил на координатные оси. Каждая вектор-сила действует на единицу объёма.

На поверхности тела F на каждую единицу её площади могут действовать распределённые силы:

,

где q_x, q_y, q_z – проекции этих сил.

Если последние действуют на малых площадках контакта поверхности тела, то их, согласно принципу смягчения граничных условий Сен-Венана, заменяют главными вектором и моментом всех сил, действующих на этих малых площадках:

где - радиус – вектор, проведённый из заданной точки (центра приведения сил) на до текущей силы .

В результате действия на тело внешних сил , температуры Т каждая точка В совершает перемещение в новое положение В ’. Это перемещение характеризуется направленным отрезком , т.е. вектором перемещения:

,

где u, v, w – проекции этого перемещения на координатные оси.

Перемещения характеризуют деформацию тела в целом. Например, прогибы точек оси балки V и поворот поперечных сечений, проходящих через эти же точки, характеризуют деформацию балки в целом при её изгибе.

Деформация тела складывается из деформации её материальных (физических) частиц, каждая из которых испытывает удлинения в направлении её рёбер и искажения прямых углов:

между её гранями в каждой из координатных плоскостей (рис. 3.2).

Величины

называют относительными удлинениями или деформациями частиц тела. Половины сдвигов обозначают:

.

Совокупность шести компонентов деформации полностью характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность запишем в виде квадратной матрицы:

(7)

и назовем тензором деформаций Коши.

а) б)

Рис. 3.2

Величину

(8)

называют средней деформацией.

Рис. 3.3

Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 3.4). При растяжении и сжатии (рис. 3.4, а) осевая и поперечные деформации , определяются законами Гука и Пуассона:

(11)