Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Электрон в потенциальной яме
|
|
Рассмотрим, в качестве примера использования уравнения Шредингера, задачу о движении частицы вдоль оси х -ов в пределах 0 ‹ х ‹ l. Это означает, что ψ = 0, а U→ ∞ – при х ≤ 0 и при х ≥ l. Внутри заданного интервала, при 0 ‹ х ‹ l – ψ ≠ 0, а U = const. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии так, чтобы он совпадал с осью х -ов. Тогда внутри интервала U = 0, а Е (полная энергии) в уравнении Шредингера (13) – это только кинетическая энергия частицы. Теперь (13) примет вид:
. (14)
Обозначим: 
(15)
С учетом (15), (14) перепишется:
Δψ + ω2ψ = 0. (16)
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид (см. Лк. №3):
Ψ(х) = А sin (ω х + α0 ). (17)
Используя граничные условия, найдем для х = 0: Ψ(0)=Аsinα0 = 0, выполняется при α0 = 0. С учетом этого факта для х = l: Ψ(l) =А sinω l = 0. Это возможно, если ω l = ± π n, где n =1,2,3…Следовательно, 
и из соотношения (15), для Е, получим:
. (18)
Т.о., микрочастица в потенциальной яме может иметь только определенные значения энергии, т.е. энергия квантуется.
Оценим расстояние между соседними уровнями:
. (19)
При m ~ 10-31 кг, n =1 и l ~ 10-10 м – ∆Е ~ 4,5 эВ, что хорошо согласуется с данными по водороду. Если l ~ 10-1 м, когда электрон можно считать свободным, то ∆Е ~ 10-16 эВ, т.е. энергетические уровни практически сольются.
Определим амплитуду А волновой функции. Воспользуемся для этого условием нормировки:
.
Проинтегрировав, получим 
. Подставив в (17) ω = π n / l и выражение для амплитуды А, получим окончательный вид волновых функций:
, (n = 1, 2, 3…) (20)
(21)
На рис.5а схематически показаны энергетические уровни Е1, Е2, Е3 и Е4, соответствующие разным квантовым состояниям электрона в потенциальной яме. На рис.5б приведены графики зависимости ïψ ç2 от х для n = 1, 2, 3 и 4. Как видно из графиков, вероятность нахождения электрона в разных местах потенциальной ямы, по представлениям квантовой механики, не одинакова. Есть такие точки, в которых вероятность нахождения электрона равна нулю, что противоречит представлениям классической механики.
Date: 2015-05-19; view: 462; Нарушение авторских прав