СоотношениЕ неопределенностей

Для измерения величины a, описываемой оператором , частица в исследуемом состоянии приводится во взаимодействие с соответствующим прибором. Его состояние, описываемое классической физикой, изменяется. Регистрируя изменение, получаем измеряемую величину. Повторяя измерение N раз, находим среднее значение и дисперсию

,

.

Если , где – собственная функция , то результат измерений однозначен , .

Для измерения величины , описываемой оператором , используется другой прибор. Если и коммутируют, то наборы их собственных функций {Ψ _n } совпадают, соответствующие измерения совместимы. В состоянии результаты однозначные , , их точность не ограничена.

Если эрмитовые и не коммутируют

, (2.29)

где – эрмитовый оператор (доказательство на практических занятиях), тогда и имеют разные наборы собственных функций, их измерительные приборы несовместимы. Измерить а и b одновременно с высокой точностью невозможно. В состоянии найдем связь между их флуктуациями

,

,

где по определению среднего дисперсии

,

.

Ограничение коммутатора. Среднее от квадратичной формы эрмитовых операторов и по состоянию Ψ не может быть отрицательным

. (2.30)

Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов:

.

В результате коммутатор

ограничен

. (2.31)

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В качестве и выбираем операторы относительного отклонения от среднего

, , (2.32)

удовлетворяющие

.

С учетом

,

находим

, .

Из (2.31) получаем

. (2.33)

Если операторы коммутируют, то , и измерения a и b можно выполнить с неограниченной точностью.

Соотношение неопределенностей координата-импульс. Соотношение

сравниваем с (2.29)

,

получаем

, ,

из (2.33) находим

(2.37)

– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичная формула была получена в полуклассической квантовой механике.

Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время

.

Флуктуация кинетической энергии

,

тогда

.

Учитывая (2.37), находим

(2.39)

– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;

– чем уже энергетический уровень δ Е возбужденного состояния, тем больше время его жизни δ t.