Системы координат. Преобразования Лоренца

Для описания процессов соударения частиц a и b с образованием частиц c_i

а + b → а' + b' + с₁+ с₂ +... + с_n

наиболее часто применяются четыре системы координат:

• лабораторная или L-система (ЛАБ);
• симметричная или S-система (СИМ);
• система центра масс или С-система (СЦМ);
• зеркальная или М-система (ЗЕРК).

В лабораторной системе мишень покоится, т.е. р_b = 0, Е_b = m_bс², а 4-импульсы взаимодействующих частиц будут _a{p_a, E_a/c} и _b{0, m_bс}.
В симметричной системе сумма импульсов вторичных заряженных частиц равна нулю: ∑_{зар i} = 0.
Система центра масс − это система, в которой сумма импульсов сталкивающихся частиц равна нулю:

_a* + _b* =0

(параметры частиц в этой системе будем обозначать знаком *).
Так, эксперименты на встречных пучках (ISR, ЦЕРН) проводятся в системе, близкой к СЦМ (пучки пересекаются под малым углом 15°).
В зеркальной (или антилабораторной) системе покоится налетающая частица, т.е. р_а = 0, Е_а = m_ас², а 4-импульсы сталкивающихся частиц есть _a{0,m_ac} и _b{р_b,Е_b/с}.
Из приведенных выше определений систем отсчета видно их отношение к состоянию движения первичных частиц: в L-системе практически вся полная энергия системы сосредоточена до столкновения на частице а, в М-системе − на частице b, в С-системе сталкивающиеся частицы равноправны, эта система наиболее часто употребляется для описания процесса соударения.
Измерения обычно ведутся в лабораторной системе или в системе центра масс (коллайдерной системе), а для анализа эксперимента используются другие системы.
Переход из одной системы координат в другую осуществляется с помощью преобразований Лоренца. В физике высоких энергий и физике космических лучей экспериментатор имеет дело со скоростями частиц, близкими к скорости света. Поэтому при переходе от одной системы отсчета к другой нужно пользоваться релятивистскими формулами преобразования в четырехмерном пространстве.
Переход из С-системы в L-систему осуществляется с помощью матрицы

Если А − 4-вектор с координатами {x₁x₂x₃x₄} в L-системе, то

A = L^-1A*,

где A*{x₁*x₂*x₃*x₄*} − 4-вектор в С-системе.

Аналогичен переход из L-системы в С-систему:

А* = L·A

где − матрица перехода.

Как известно, релятивистская механика формулируется в четырехмерном пространстве, где сохраняется длина четырехмерного вектора. Другими словами, длина четырехмерного вектора с координатами ж, у, z, ct является лоренц-инвариантом. Преобразования Лоренца устанавливают связь между координатами 4-вектора в лабораторной системе (х,у,z,ct) с его координатами в движущейся системе, например С-системе (х*,у*,z*,ct*).
Пусть С-система движется так, что ее скорость v направлена вдоль оси х* и совпадает с направлением оси х лабораторной системы. При этом связь координат в L- и С-системах выразится соотношениями

x = γ_c(x* + vt*), у = у*, z = z*,

где

Для перевода 4-импульса *(p_x*p_y*p_z*E*) из С-системы в L-систему

После применения матрицы L^-1 получаем для отдельных компонент 4-импульса следующие соотношения:

p_х = γ_c(p_х* + β_сЕ*), p_у = p_y*, p_z =p_z*, Е = γ_c(Е* - β_ср_х*).

Для перевода 4-импульса (p_xp_yp_zE) из L-системы в С-систему применяется матрица L

После этого получим для отдельных компонент 4-импульса

p_х* = γ_c(p_х − β_сЕ), p_у* = p_y, p_z* =p_z, Е* = γ_c(Е − β_ср_х).

Инварианты лоренцевских преобразований

1. 4-импульс { , E} квадрат 4-импульса ² = Е² − р² = m² является инвариантом

Все квадратичные формы 4-импульсов также являются инвариантами (см. пп. 2, 3)

1. 
2. 
3. Поперечный импульс = p·sin θ является инвариантной величиной. Поперечная масса
   используется для определения энергии Е_i и продольного импульса :
   , , где y_i – быстрота.
4. Быстрота
   При р ≈ Е псевдобыстрота
   Для этих величин инвариантами являются интервалы Δу и Δη.
   Распределение dσ/dy является инвариантом с точностью до переноса системы координат.
   dσ/dy, y = yc + y*, Δу − инвариант
   chy = (e^y + e^-y)/2
   shy = (e^y − e^-y)/2
   Определение границ изменения быстроты в пределах от у_min до у_max дается соотношениями

1. Переменные Мандельштама s, t, u являются инвариантами:

s = ( _а+ _b)\ t = ( _а − _c), u = ( _b − _c).

1. Инвариантом лоренцевских преобразований является фазовый объем − область фазового пространства, разрешенная законами сохранения. Элемент фазового объема определяется через произведение дифференциалов 4-импульсов частиц.
   С учетом законов сохранения элемент трехмерного инвариантного фазового объема можно представить в виде

где δ-функция учитывает закон сохранения 4-импульса. Полный фазовый объем − это интеграл по всем импульсам частиц конечного состояния Ф(s) = ∫dФ_i.

1. Переменная Фейнмана является лоренцевским инвариантом, но часто используется для анализа экспериментальных данных. Ее связь с быстротой .
2. Некоторые полезные соотношения в C-системе:

в L-системе (если пренебречь массами сталкивающихся частиц):

s_ab ~ 2(Е_а·Е_b - р_ар_b)² ~ 2Е_а·m_b ≈ 2р_аm_b.

Отсюда Е_а = s_ab/2m_b. Зная квадрат полной энергии в системе центра масс сталкивающихся частиц s_ab, можно определить эквивалентную энергию в лабораторной системе Е_а.

Литература

1. Аминева Т.П., Сарычева Л.И. Фундаментальные взаимодействия и космические лучи. -М.: Эдиториал УРСС, 1999.
2. Окунь Л.Б. Введение в физику элементарных частиц. -М.: Наука, 1988.