Частицы со спином

Для иллюстрации методики применения математического аппарата рассмотрим наблюдаемую, называемую спиновым моментом (или просто спином) микрочастиц. Спин является характеристикой векторного типа, для задания которой необходимо указать:

- длину (модуль) вектора спина | S |,

- направление (ориентацию) вектора спина в пространстве, которую можно определить, например, указанием проекций этого вектора на декартовы координатные оси S_x, S_y и S _z .

Когда мы говорим, что спин — наблюдаемая величина, то подразумеваем, что должна существовать экспериментальная процедура, позволяющая установить как длину, так и направление вектора S. Эта процедура основана на известном физическом законе: если частица обладает электрическим зарядом и участвует во вращательном движении, то масса частицы приводит к появлению у нее механического момента (S), а заряд — к появлению магнитного момента (m). Другими словами, у любой заряженной и вращающейся частицы имеются сразу два момента — механический и магнитный, связанные между собой соотношением:

где коэффициент g называется магнитно-механическим отношением. Его величина и знак зависят от заряда и массы частицы. Например:

Наличие магнитного момента у частиц со спином и позволяет построить надлежащий спектральный анализатор. Если частицу с магнитным моментом m поместить в магнитное поле с индукцией В, то ее энергия изменится на величину, зависящую от взаимной ориентации этих двух векторов:

D E = – m • B = – | m | × | B | × cos a = – m _B × B

Если магнитное поле будет неоднородным, т.е. | В | = f (x, y, z), то величина магнитной энергии будет зависеть и от положения частицы в пространстве, т.е. от величины магнитной индукции в данной точке пространства. В результате, на частицу будет действовать механическая сила, толкающая частицу в область более сильного поля (при параллельной направленности векторов m и В) или в область более слабого поля (при антипараллельной направленности векторов m и В):

Величина этой механической силы зависит от угла a между векторами m и B, что приводит к пространственному разделению частиц со спином, имеющих разную ориентацию вектора спина (и вектора магнитного момента) по отношению к направлению внешнего магнитного поля.

Реальное физическое устройство, которое осуществляет такое пространственное разделение и сортировку частиц со спином, называется прибором Штерна-Герлаха (ШГ). Этот прибор состоит из двух длинных постоянных магнитов особой формы, создающих в промежутке между ними неоднородное магнитное поле с вертикально направленным градиентом. Через промежуток, "заполненный" неоднородным магнитным полем, пропускается пучок частиц со спином, приготовленных в некотором состоянии. Когда частицы пролетают внутри прибора, они отклоняются от первоначального направления, причем величина отклонения зависит от ориентации вектора спина относительно самого прибора.

Конфигурация силовых линий магнитного поля в поперечном сечении такого прибора имеет вид, изображенный на рис., что обеспечивает повышенную напряженность возле острия нижнего магнита.

Эта конфигурация поля приведет к тому, что частицы с магнитным моментом, ориентированным вверх, будут отклоняться тоже вверх (в область слабого поля), и наоборот. В результате, узкий начальный пучок частиц растянется на выходе из прибора вдоль вертикальной оси z. Величина отклонения частицы за время ее пролетания через прибор будет определяться величиной проекции ее вектора m на вертикальную ось (m _z):

где L — длина прибора, а v — скорость движения частиц.

Расставив на выходе прибора детекторы, мы сможем легко определять для каждой частицы величину вертикального отклонения, а из него — рассчитывать ориентацию векторов m и S (точнее — проекции этих векторов на вертикальную ось m _z и S _z). Кроме того, измеряя максимальные отклонения вверх и вниз, мы можем оценить и длину этих векторов, поскольку максимально возможная проекция всегда совпадает с самим вектором.

Таким образом, прибор ШГ является спектральным анализатором, предназначенным для измерения двух наблюдаемых:

- S _z, называемой проекцией вектора спина (на ось z);

- | S |, называемой модулем вектора спина.

Эти два числа полностью характеризуют сложную наблюдаемую, называемую спином частицы.

Обратимся теперь к анализу результатов измерений, получаемых с помощью прибора ШГ.

Основываясь на классических представлениях о векторных величинах, можно было бы предположить, что ориентации вектора спина могут быть любыми — от параллельной, до антипараллельной. В этом случае, на выходе из прибора мы наблюдали бы некоторую сплошную зону, внутри которой плотность пучка могла бы заметно меняться, но не обращаться в ноль. Для каждого значения наблюдаемой S _z можно измерить вероятность и описать ее функцией распределения, которая могла бы иметь такой примерный вид:

Опыт, однако, показывает иную картину. Действительные функции распределения, получаемые в приборе ШГ, состоят из небольшого числа острых дискретных максимумов, разделенных пустыми промежутками:

Это говорит о том, что наблюдаемая S _z имеет дискретный спектр, состоящий из небольшого числа допустимых значений. Число максимумов n (т.н. мультиплетность) и их положения в функции распределения строго постоянны для каждого типа частиц и никогда не изменяются. В зависимости от способа приготовления частиц (т.е. от их начального состояния) могут изменяться лишь относительные величины пиков.

Отсюда следует важный физический результат:

· длина (модуль) вектора спина строго определена природой частицы и всегда имеет только одно значение (| S | = const),

· ориентация вектора спина может осуществляться только несколькими различными способами (S_z = S _{z 1}, S_{z 2},..., S_zn), число которых (n — мультиплетность) зависит только от природы частицы и величины модуля спина,

· вероятности различных ориентаций (P ₁, P ₂,..., P_n) вектора спина зависят от конкретных условий приготовления частицы со спином.

На основании этих результатов вводятся некоторые вспомогательные величины (с целью удобства описания спиновых свойств частиц):

- спиновое квантовое число s, величина которого удовлетворяет соотношению n = 2 s + 1;

- магнитное спиновое квантовое число m_s, причем m_s = – s, – s + 1, – s + 2,...., s – 2, s – 1, s

Через эти новые вспомогательные характеристики удобно выражать допустимые значения наблюдаемых, характеризующих спин:

Так, для электронов, независимо от способа их приготовления мультиплетность всегда равна 2, откуда следуют соотношения:

Для частиц другой природы — ядер дейтерия — мультиплетность всегда равна 3, откуда следуют аналогичные соотношения:

Легко заметить, что целочисленные значения мультиплетности приводят к тому, что спиновые квантовые числа бывают только двух сортов: а) целые (при четной мультиплетности) и б) полуцелые (при нечетной мультиплетности). Это обстоятельство позволяет разделить все микроскопические объекты на два класса:

· бозоны — частицы с целым спином (s = 0, 1, 2,...);

· фермионы — частицы с полуцелым спином (s = 1/2, 3/2,...).

Такое разделение очень важно, так как бозоны и фермионы принципиально отличаются друг от друга по многим параметрам и той роли, которую они играют в образовании структур. Так, многие важные в химическом отношении свойства атомов и молекул обусловлены именно тем обстоятельством, что электроны относятся к классу частиц-фермионов. Многие свойства света обусловлены тем, что фотоны относятся к классу частиц-бозонов.

Обратимся теперь к рассмотрению формального квантово-механического описания некоторых экспериментов с прибором ШГ.

Пусть имеется пучок частиц со спином 1 (например, ядер дейтерия). Пропустим такой пучок, содержащий N частиц через прибор ШГ. На выходе мы обнаружим три вторичных пучка, содержащие соответственно N ₊, N ₀ и N _– частиц:

Повторяя много раз этот эксперимент, мы увидим, что числа N ₊, N ₀ и N _– каждый раз будут несколько отличающимися, однако, их средние значения будут стремиться к некоторым постоянным пределам — вероятностям:

(N ₊ / N) ® Р₊ (N _o / N) ® Р_o (N _– / N) ® Р_–

Как всякий спектральный анализатор, прибор ШГ задает набор базисных состояний. В данном случае таких состояний будет всего три:

| +Z ñ — частица характеризуется величинами m_s = +1 и S _z = +h,

| оZ ñ — частица характеризуется величинами m_s = 0 и S _z = 0,

| –Z ñ — частица характеризуется величинами m_s = –1 и S _z = –h,

Произвольное начальное состояние может быть представлено в виде ЛК этих трех состояний:

| Y ñ = Z ₊ | +Z ñ + Z _о| оZ ñ + Z _–| –Z ñ,

где | Z ₊ | ² = P ₊ ; | Z _o | ² = P _o ; | Z _– | ² = P _– .

Таким образом, в данном базисе вектор состояния может быть изображен набором трех чисел: | Y ñ = (Z ₊, Z _о, Z _–), где числа-координаты представляют собой амплитуды попадания частицы, находящейся в начальном состоянии | Y ñ, в один из базисных пучков:

Z ₊ = á +Z | Y ñ Z _о = á oZ | Y ñ Z _– = á –Z | Y ñ

Физическая интерпретация полученного результата такова.

Произвольное состояние | Y ñ является суперпозицией трех базисных состояний. В результате применения прибора происходит превращение ("редукция") этого суперпозиционного состояния в одно из базисных состояний.

Другими словами, пока частица находится в исходном пучке, мы не знаем, какой результат даст нам измерение. Мы даже не можем отличить частицы исходного пучка друг от друга. Все что можно сказать о свойствах конкретной частицы сводится к указанию трех вероятностей (Р ₁, Р ₂, Р ₃) или амплитуд (Z ₊, Z _o, Z _–). Однако после прибора каждая частица приобретает вполне определенное значение наблюдаемой и ее состояние становится одним из базисных.

Модифицируем экспериментальную ситуацию: на пути всех вторичных пучков поставим еще по прибору ШГ, точно такому же, как и первый:

Результат будет выглядеть так:

- все частицы верхнего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в верхнем пучке;

- все частицы среднего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в среднем пучке;

- все частицы нижнего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в нижнем пучке.

Другими словами, если частица находится в одном из базисных состояний прибора, то повторное применение того же самого прибора не изменяет этого состояния.

На математическом языке этот результат можно сформулировать так: амплитуды перехода между различными базисными состояниями одного и того же прибора равны 0, а между одинаковыми состояниями — равны 1.

á оZ | +Z ñ = á –Z | +Z ñ = á +Z | oZ ñ = á –Z | oZ ñ = á +Z | –Z ñ = á oZ | –Z ñ = 0

á +Z | +Z ñ = á oZ | oZ ñ = á –Z | –Z ñ = 1

Для выражения этого результата удобно использовать матрицу амплитуд переходов:

или т.н. "символ Кронекера": á j | i ñ = d _ij, равный 1 для одинаковых индексов (d _ij = 1 при i = j) и 0 для разных индексов (d _ij = 0 при i ¹ j).

В математике два вектора, скалярное произведение которых равно 0, называются ортогональными. Поэтому можно сформулировать правило:

все базисные состояния, задаваемые некоторым прибором, попарно ортогональны между собой.