Квантовое преобразование Фурье

Преобразование Фурье. Фурье-анализ – это семейство математических методов, основанных на разложении сигнала в синусоиды. Разложение Фурье – половина гармонических составляющих косинусоиды, половина синусоиды. Всякая функция может быть представлена бесконечной суммой синусоид, каждая из которых будет со своей амплитудой и начальной фазой (спектр). В зависимости от того, с каким сигналом имеют дело, используют разные преобразования Фурье. Основное достоинство – это то, что каждая из sin и cos – ых составляющих имеет свою частоту, а исходный сигнал своей частоты может и не иметь (например импульс). В линейных системах синусоидальный входной сигнал приводит к появлению синусоидального выходного сигнала той же частоты, но с другой амплитудой и начальной фазой. Разложение Фурье также называют спектральным анализом.

Ряды Фурье. Если сигнал непрерывный и периодический с частотой f, разложение его на гармонические составляющие даст только частоты из ряда 2f, 3f, 4f и т.д. Составляющая с частотой f называется 1-ой гармоникой, 2f – 2-ой и т.д. Первую гармонику ещё называют основным тоном, 2-ю первым обертоном, 3-ю вторым обертоном. Синусоидальный (косинусоидальный) сигнал состоит только из 1-ой гармоники. Искажения формы синусоидального сигнала при прохождении его через системы статически нелинейные приводит к появлению высших гармоник. Если искажения имеют симметричный вид, то появляются только нечётные гармоники (5f, 7f и т.д.). Если искажения несимметричные, то появляются чётные и нечётные гармоники, а также составляющая нулевой частоты – постоянное смещение сигнала.

Формулы коэффициентов ряда Фурье:

где n - порядок гармоники. Искажения формы сигнала можно использовать для умножения частот на целые числа. При этом необходимо предусмотреть фильтрацию ненужных частотных составляющих.