Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Преобразования Лоренца
Допустим, что один из законов физики, полученный относительно системы отсчета S, имеет вид f (x, y, z, t...)= 0,
а относительно системы отсчета S ' имеет вид
. f' (x', y', z', t'...)= 0
Согласно принципу относительности, функции f и f ' должны иметь одинаковый вид. Это возможно, если между результатами измерения физических величин относительно S и S ' существуют определенные соотношения. А. Эйнштейн показал, что из двух принципов его теории следует, что координаты движущихся тел и время, измеренные относительно S и S ', связаны между собой преобразованиями Лоренца. Действительно, возьмем две координатные системы: нештрихованную XYZ (условно неподвижную) и штрихованную X 'Y ' Z' (условно подвижную, рис.), находящиеся в относительном движении. Оси обеих систем возьмем параллельными, постоянную относительную скорость υ системы X 'Y 'Z' относительно системы XYZ направим вдоль оси ОХ и предположим, что в исходный момент времени (t= 0; t' =0) начала координат обеих систем совпадают. При этих условиях легко показать, что координаты у и г преобразуются очевидным соотношением: у'=у; z’ = z, и мы ими заниматься не будем. Рассмотрим, как преобразуются координата x: и время t. Возьмем точку, соответствующую началу координат подвижной системы; ее координата х', очевидно, равна нулю: x’= 0 (1) Координата х этой же точки (в неподвижной системе) в момент времени t (отсчитанный в неподвижной системе) равна: x=υt Это равенство перепишем в виде: x - υt = 0 (2)
Сопоставляя равенства (1) и (2), замечаем, что в одной и той же точке пространства обращаются в нуль величины х’ (в штрихованной системе) и x - υt (в нештрихованной), поэтому естественно предположить, что х' и x - υt для любых моментов времени отличаются друг от друга лишь постоянным множителем а: x’ = а(x - υt) (3) Теперь рассмотрим точку, соответствующую началу координат неподвижной системы; ее координата х в этой системе равна нулю: x = 0 (4) В подвижной системе эта же точка в момент времени t’ (отсчитанный в подвижной системе) имеет координату x’, равную: x’= - υt откуда для этой точки имеет место равенство: x’ + υt’ = 0 Сопоставляя последнее равенство с равенством (4), характеризующим ту же точку в другой системе, положим, как и выше: х =a (x’ + υt’). (5) То, что коэффициенты пропорциональности а формул (3) и (5) должны быть одинаковыми, легко показать, основываясь на опытном положении об эквивалентности обеих систем, т. е. на невозможности установить, какая из систем находится в абсолютном движении. Для нахождения закона преобразования надо определить коэффициент а. Используем для этого опытный факт, согласно которому скорость светового сигнала, измеренная в обеих системах, даст одно и то же значение с. Пустим световой сигнал в момент совпадения обоих начал координат (этот момент в обеих системах будем считать начальным: t = t’ = 0) в направлении оси ОХ (О'Х'}. В произвольные моменты t(t’) сигналы в обеих системах будут доходить до точек, координаты которых определятся соответственно равенствами: x=ct; x’=ct’ (6) Перемножим уравнения (3) и (5) и подставим в полученный результат вместо х и х' их значения по (6); после сокращения найдем: c 2= a 2(c 2 – υ 2); для а возьмем положительное значение корня этого уравнения: Найденное значение а позволяет написать преобразование координат в виде: ; Отсюда легко найти и преобразование времени. Из второго равенства получаем:
Подставляя х' из первого соотношения, найдем: Решая это равенство относительно t’, получим: Аналогичным приемом получим для t: Объединяя все полученные соотношения, напишем выражение координат и времени в подвижной системе через координаты и время в неподвижной: y’=y; z’=z; (7) и выражение координат и времени в неподвижной системе через координаты и время в подвижной: y=y’; z=z’ (8) Формулы (7) и (8) выражают преобразование координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Преобразования такого вида называются преобразованиями Лоренца. Преобразования Лоренца (7) и (8) переходят в преобразования Галилея при стремлении к нулю отношения β = υ/c. Заметим, что штрихованная и нештрихованная системы эквивалентны и преобразование (7) получается из преобразования (8) заменой знака относительной скорости. Преобразования Лоренца выведены из опытных положений. Теория относительности обобщает этот вывод и считает, что всякий физический закон должен удовлетворять преобразованием Лоренца. Это означает, что закон природы, выраженный математически в координатах одной системы, должен сохранять свой вид при переходе к координатам другой системы по формулам (7) или (8), т. е. должен быть инвариантен по отношению к преобразованию Лоренца. Уравнения механики Ньютона, будучи инвариантными по отношению к преобразованию Галилея, не инвариантны по отношению к преобразованию Лоренца. Развитие идей теории относительности привело к изменению уравнений Ньютона в том смысле, что были установлены уравнения механики, инвариантные по отношению к преобразованию Лоренца и переходящие в уравнения Ньютона в предельном случае бесконечно малого отношения β = υ/c. Проверка следствий новых уравнений механики на опыте показала правильность этих новых уравнений. Что же касается уравнений электродинамики (уравнений Максвелла), то они оказались инвариантными относительно преобразований Лоренца. Таким образом, выяснилось, что законы классической физики в области электромагнетизма удовлетворяют требованиям теории относительности, а в области механики (ньютоновской) справедливы лишь для скоростей υ «c и в общем случае требуют изменений. Обратим внимание на то, что для скоростей υ > с преобразования Лоренца теряют смысл. Это соответствует тому, что тела не могут двигаться со скоростями, превышающими скорость света.
Date: 2015-05-18; view: 826; Нарушение авторских прав |