Основы скалярной теории дифракции

Общие положения теории дифракции.

Определение Зомерффельда – любое отклонение световых лучей от прямой линии, которое нельзя объяснить отражением или преломлением, называется дифракцией света.

Если учитывается векторный характер электро - магнитного поля, то такая дифракция называется векторной.

Если при расчете световых полей не учитывается векторный характер поля, то такая дифракция называется скалярной.

Скалярная дифракция наблюдается в том случае, если выполняется два условия:

- размеры препядствия, на котором происходит дифракция намного больше длины волны.

- расстояние за препядствием, где наблюдается дифракция намного больше длины волны.

U={E,H}- в действительной форме.

V={E,H}-в комплексной форме.

В основе дифракционной теории лежит решение волнового уравнения, или уравнения Гельмгольца.

5.2 Принцип Гюйгенса – Френеля.

История открытия.

На существование дифракционных явлений еще в средине 17 века обратил внимание Франческо Гримальди. Он пропускал тонкий солнечный луч через маленькое отверстие, ставил на его пути предмет и наблюдал за тенью этого предмета. Вывод один – свет действительно отклоняется от прямолинейного распространения. Но почему?

В начале 19 века Френель не только повторяет опыты Гримальди, но и убедительно объясняет их результаты на основе принципа, известного сегодня как принцип Гюйгенса – Френеля. В настоящее время хорошо известно, что если свет встречает на своем пути препятствие, то он огибает его. Независимо от того – что это за препятствие (объект): отверстие или наоборот преграда, дифракция происходит на его границах, и проявления дифракции наиболее заметны, когда размеры препятствия сопоставимы с длиной световой волны. Дифракция может происходить и на прозрачных объектах, не поглащающих свет, и на объектах отражающих свет.

Итак, первый шаг в создании волновой теории света был сделан Христианом Гюйгенсом. Гюйгенс предположил что:

Каждый элемент поверхности, которой достигла в данный момент волна (т.е.каждая точка волнового фронта) является центром вторичных волн, огибающая которых становится волновым фронтом в более поздний момент времени. Сейчас этот постулат называется принципом Гюйгенса. Он лежит в основе некоторых приближенных методов решения задач дифракции, так как позволяет получить волновой фронт в любой момент времени.

Гюйгенс считал, что отдельные вторичные волны слишком слабы и что

заметное световое действие они производят только на их огибающей. Огибающая вторичных волн обрывается на границе геометрической тени. За границу геометрической тени проникнут только отдельные вторичные волны, действие которых по предложению Гюйгенса пренебрежимо мало.

Для объяснения огибания световыми волнами препятствий, Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о том что вторичные световые волны могут, как, усиливать, так и ослаблять друг друга. Иначе говоря, они могут интерферировать. Кроме того, Френель предположил, что амплитуда вторичной волны убывает с увеличением угла между нормалью к волновому фронту и направлением изучения вторичной волны.

Таким образом, принцип Гюйгенса – Френеля формулируется следующим образом:

Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Рассмотрим с помощью принципа Гюйгенса-Френеля распространение света от точки Р, где расположен точечный источник до точки Ро.

Из точки Ро распространяется сферическая волна

* (5.1)

амплитуда которой, на расстоянии r от Po

(5.2)

Из этой формулы следует, что в т. Р

(5.3)

Получим формулу (5.3) исходя из принципа Гюйгенса – Френеля. Для этого рассмотрим сферический фронт волны S, который находится на расстоянии ro от т. Ро.

Амплитуда поля в произвольной т.Q волновой поверхности S равна

(5.4)

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля т.Q является источником вторичных сферических волн. Эта вторичная волна создает в т. Р амплитуду поля

(5.5), где (5.6)

где - коэффициент учитывающий уменьшение амплитуды волны с увеличением угла дифракции .

-если ; -если

Подставим (5.6) в (5.5) с учетом (5.4)

(5.7)

Согласно принципу Френеля вторичные волны интерферируют между собой, то есть в т. Р образуется сумма элементарных амплитуд, образованных всем волновым фронтом S
(5.8)

Для вычисления интеграла (5.8) воспользуемся методом Зон Френеля, которые образуются при пересечении сферической поверхности S со сферическими поверхностями центр которых находится в т. Р, а их радиусы ЗФ- зона Френеля

В пределах q-й зоны можно считать, что коэффициент является постоянной, и его можно вынести за знак интеграла. Тогда амплитуда поля в т. Р сформированная q-й зоной будет равна

(5.9)

При этом результирующая амплитуда в т. ­­

(5.10)

Вычислим интеграл (5.9). Для этого определим элемент площади dS

(5.11)

(5.12)

Подставим 5.12 в 5.11

(5.13)

Запишем интеграл 5.9 с учётом 5.13

(5.13а)

(5.14)

(5.15)
Из 5.15 следует, что знак амплитуды поля зависит от номера знака Q, с учётом этого результирующая амплитуда поля в точке Р согласно 5.10 равна.

(5.16)

Вычмслим сумму 5.16, воспользовавшись методом Шустера:

(5.17)

тогда:

(5.18)

При полностью открытом волновом фронте

тогда амплитуда поля в точке Р

(5.19)

С учётом 5.15

(5.20)

Из сравнения 5.20 и 5.3

Принцип Гюйгенса-Френеля описывает распространение поля между точками Р₀ и Р

если j*k*λ=1.