Фокус и фокусное расстояние сферического зеркала

Найдем положение фокуса F сферического зеркала, т. е. точки, в которой пересекутся после отражения в подобном зеркале лучи, параллель­ные его главной оси. Как мы знаем, для получения параллельного пучка лучей источник нужно удалить весьма далеко, т. е. [положить в формуле (91.6) 1/ а =0. В этом случае a'=f есть фокусное расстояние зеркала. Для величины фо­кусного расстояния, поль­зуясь формулой (91.6), на­ходим

(92.1)

Соединяя формулы (91.6) и (92.1), получим фор­мулу зеркала в виде

(92.2)

т. e. в виде, аналогичном формуле (89.6) тонкой линзы.

В случае вогнутого зеркала фокус расположен на середине расстояния между полюсом и центром сле-

Рис. 206. Фокусы сферических зер­кал: а) вогнутое зеркало; б) выпук­лое зеркало. (Лучи показаны падаю­щими на значительную часть сфери­ческих зеркал. Их следует представ­лять себе пересекающими зеркало на малой высоте от оси, т. е. захва­тывающими малую часть зеркала.)

ва от полюса (рис. 206, а); в случае выпуклого зеркала фокус расположен на расстоянии R/ 2 справа от полюса, т.е. является мнимым (рис. 206, б).

Пользуясь тем, что источник и его изображение нахо­дятся в сопряженных между собой точках, мы можем сразу сделать вывод, что если точечный источник света находится в фокусе зеркала, то его изображение находится в бесконеч­ности, т. е. из зеркала выходит параллельный пучок лучей. Это условие служит основой для получения при помощи вогнутых зеркал параллельных световых

пучков, точнее, пучков, близких к параллель­ным. О применении этого условия к устройству прожек­торов мы уже говорили в гл. VIII *).

Заметим, что при рассмотре­нии свойств сферического зерка­ла, как и в случае линзы, мы предполагали, во-первых, что ис­пользуется очень узкий пучок лучей, прилегающих к оси зеркала, и, во-вторых, что применяется точечный ис­точник света. Оба эти требова­ния, конечно, вполне строго вы­полнены быть не могут. Вопрос о том, насколько существенны отступления от этих требований, в каждой конкретной задаче дол­жен решаться особо.

Рис. 207. Образование изоб­ражения в вогнутом сфери­ческом зеркале при различ­ных положениях точечного источника на оси зеркала: о) источник между центром и бесконечностью; б) в цент­ре; в) между центром и фо­кусом; г) между фокусом и зеркалом

§ 93. Связь между положения­ми источника и его изображе­ния на главной оси сфериче­ского зеркала. Проследим, как будет меняться положение изоб­ражения при приближении источника света из бесконечности к вогнутому зеркалу (рис. 207, а — г). Из формулы (92.2) видно, что если

*) В гл. VIII в качестве зеркала прожектора рассматривалось не сферическое зеркало, а параболоидное, которое дает пучок лучей, близ­кий к параллельному даже при значительных размерах отверстия зерка­ла, тогда как сферическое зеркало удовлетворяет этому условию лишь при малых отверстиях (малых значениях ft),

источник проделает путь из бесконечности до центра зер­кала, то его изображение переместится из фокуса в центр зеркала. В итоге положения источника и изображения сов­падут (рис. 207, б).

При перемещении источника света от центра к фокусу его изображение удаляется от центра зеркала (рис. 207, в). При помещении источника света в фокус его изображение уходит в бесконечность, т. е., как мы уже знаем, точечный источник в фокусе зеркала дает пучок параллельных лучей.

Если, наконец, источник света находится между фоку­сом зеркала и его полюсом, то отраженные лучи не будут иметь общей вершины с вогнутой стороны зеркала и нигде не пересекут главной оси зеркала (рис. 207, г). Только их продолжения за зеркалом (показанные на рисунке штриховыми линиями) будут иметь общую верши­ну (S'). Это значит, что изображение в данном случае будет мнимым. Для отыска­ния его положения доста­точно продолжить за зер­кало направление любо­го отраженного луча; мес­то его пересечения с глав­ной осью даст положение изображения.

Рассмотрим изображе­ния, даваемые выпук­лым сферическим зерка­лом. Мы уже видели, что выпуклое зеркало имеет мнимый фокус на расстоянии R /2 от полюса. Построение изображения для точки, расположенной на конечном расстоянии от зеркала, выполнено на рис. 208. Мы ви­дим, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение.

§ 94. Способы изготовления линз и зеркал. Основным материалом, при­меняемым для изготовления линз, призм и других оптических деталей, Служит оптическое стекло. Стекло прозрачно и может быть очень однородным. Весьма важно, что стекло обладает стойкостью по отношению и к механическим и к химическим воздействиям. Поэтому детали из стекла могут быть обработаны с большой степенью точности, и придан­ная им в результате обработки форма остается впоследствии неиз­менной.

Оптические свойства стекла (в первую очередь показатель прелом­ления) можно изменять в довольно широких пределах путем надлежа­щего изменения его состава. Основной составной частью стекол является кремнезем SiO₂. К нему добавляются окислы других элементов: натрия,

Рис. 208. Построение мнимого изоб­ражения в выпуклом сферическом зеркале

калия, кальция, бария, алюминия, бора, свинца и т. п. В зависимо­сти от рода примесей и их количества меняются оптические свойства стекла.

Оптическое стекло, предназначенное для изготовления той или иной оптической детали, вначале распиливается и грубо обдирается под над­лежащий размер. Затем производится шлифовка и полировка детали. Обработка оптических деталей должна, как правило, производиться с весьма большой точностью (отклонение от заданной кривизны поверх­ности не должно превышать 0,00002 мм). Требования к точности здесь примерно в 500 раз больше, чем при обычной обработке механических деталей, производимой с механическими измерителями. Поэтому для контроля качества обработки обычно применяются специальные опти­ческие методы, основанные на явлении интерференции.

У зеркал, применяемых в быту, отражающий слой нанесен с обрат­ной стороны стеклянной пластинки и может быть виден только через стекло. Этот слой наносится химически, путем осаждения слоя металлического серебра из раствора AgNO₃ с добавлением к нему опре­деленных веществ. Такой слой, защищенный обычно с задней стороны лаком, а затем картоном или деревом, а с передней — стеклом, весьма прочен.

Однако для зеркал, применяемых в научных исследова­ниях, этот способ не пригоден, ибо полученное таким об­разом зеркало дает добавочное слабое (около 5%) отраже­ние от наружной поверхности стекла, а лучи, отраженные от металлического слоя, должны пройти слой стекла, что несколько меняет их направление и сильно усложняет рас­чет зеркал. Поэтому в оптических зеркалах хорошо отра­жающий слой металла наносится на тщательно отшлифо­ванную и отполированную поверхность стекла снаружи. Обычно применяют слой серебра или алюминия, нанесен­ный путем испарения в вакууме или путем катодного рас­пыления. Свежий слой этих металлов дает коэффициент от­ражения до 90% и более. С течением времени отражающая способность зеркал с «наружным» покрытием ухудшается. В последнее время стали получать очень стойкие зеркала с весьма высоким коэффициентом отражения, до 95% и бо­лее, покрывая стекло несколькими слоями различных (не металлических!) материалов строго рассчитанной толщины. Высокие отражающие свойства таких многослойных по­крытий основаны на явлениях интерференции света.

§ 95. Изображение протяженных объектов в сферическом зеркале и линзе. До сих пор мы предполагали, что источник света представляет собой светящуюся точку, находящуюся на главной оптической оси зеркала или линзы. Рассмотрим теперь изображение в сферическом зеркале или линзе не­больших предметов, расположенных вблизи их главной оси. Выражение «небольшой предмет» будет означать, что данный предмет виден из центра зеркала или линзы под малым углом. Так как отдельные точки протяженного предмета лежат вне главной оптической оси, то постав­ленная задача сводится к построению изображения таких «внеосевых» точек. Задача эта решается без труда. Разбе­рем ее для случая сферичес­кого зеркала.

Пусть точечный источник света находится в точке S ₁ на некотором расстоянии от глав­ной оси зеркала (рис. 209). Проведем через него побочную оптическую ось. По отноше­нию к отражению в сферичес­ком зеркале точка S ₁ вполне равноправна с точкой S, лежащей на главной оси зеркала на том же расстоянии от его центра С. Таким образом, если мы выделим узкий пучок лучей вблизи оси S ₁ C, то, поль­зуясь результатами §91, можем утверждать, что он после отражения соберется снова в одной точке S ₁ ' — изображе­нии точки S ₁. Легко видеть, что любая точка дуги S ₁ SS ₂ с центром в точке С изобразится точкой, лежащей на дуге S' ₁ 'S'S ₂ ' с центром также в С. Другими словами, дуга S ₁' S'S ₂' является изображением дуги S ₁ SS ₂.

Мы будем предполагать, что все точки дуги S ₁ SS ₂ нахо­дятся на небольшом расстоянии от главной оси. Тогда практически можно заменить дуги S ₁ SS ₂ и S ₁' S'S ₂' прямолинейными отрезками, перпендикулярными к глав­ной оси.

Итак, мы доказали, что небольшой отрезок, перпендику­лярный к главной оси, изобразится после отражения в сфе­рическом зеркале также отрезком, перпендикулярным к глав­ной оси. Этот вывод имеет силу только при условии до­статочной малости угла, под которым объект виден из центра зеркала; в противном случае заменить дугу прямолинейным отрезком нельзя. Практически нарушение этого условия приводит к тому, что изображение становится нечетким, расплывчатым по краям.

Совершенно аналогично решается задача и для тонкой линзы. И в этом случае хорошее, четкое изображение про­тяженных объектов получается только при условии, что эти объекты (их крайние точки) видны из оптического цен­тра линзы под малым углом к главной оси. При несоблюдении этого условия изображение получается более или менее расплывчатым и искаженным.

Рис. 209. Построение изображе­ния протяженного объекта в сфе­рическом зеркале

Изображение протяженных объектов в сферическом зеркале и линзе. До сих пор мы предполагали, что источник света представляет собой светящуюся точку, находящуюся на главной оптической оси зеркала или линзы. Рассмотрим теперь изображение в сферическом зеркале или линзе не­больших предметов, расположенных вблизи их главной оси. Выражение «небольшой предмет» будет означать, что данный предмет виден из центра зеркала или линзы под малым углом. Так как отдельные точки протяженного предмета лежат вне главной оптической оси, то постав­ленная задача сводится к построению изображения таких «внеосевых» точек. Задача эта решается без труда. Разбе­рем ее для случая сферичес­кого зеркала.

Пусть точечный источник света находится в точке S ₁ на некотором расстоянии от глав­ной оси зеркала (рис. 209). Проведем через него побочную оптическую ось. По отноше­нию к отражению в сферичес­ком зеркале точка S ₁ вполне равноправна с точкой S, лежащей на главной оси зеркала на том же расстоянии от его центра С. Таким образом, если мы выделим узкий пучок лучей вблизи оси S ₁ C, то, поль­зуясь результатами §91, можем утверждать, что он после отражения соберется снова в одной точке S ₁ ' — изображе­нии точки S ₁. Легко видеть, что любая точка дуги S ₁ SS ₂ с центром в точке С изобразится точкой, лежащей на дуге S' ₁ 'S'S ₂ ' с центром также в С. Другими словами, дуга S ₁' S'S ₂' является изображением дуги S ₁ SS ₂.

Мы будем предполагать, что все точки дуги S ₁ SS ₂ нахо­дятся на небольшом расстоянии от главной оси. Тогда практически можно заменить дуги S ₁ SS ₂ и S ₁' S'S ₂' прямолинейными отрезками, перпендикулярными к глав­ной оси.

Итак, мы доказали, что небольшой отрезок, перпендику­лярный к главной оси, изобразится после отражения в сфе­рическом зеркале также отрезком, перпендикулярным к глав­ной оси. Этот вывод имеет силу только при условии до­статочной малости угла, под которым объект виден из центра зеркала; в противном случае заменить дугу прямолинейным отрезком нельзя. Практически нарушение этого условия приводит к тому, что изображение становится нечетким, расплывчатым по краям.

Совершенно аналогично решается задача и для тонкой линзы. И в этом случае хорошее, четкое изображение про­тяженных объектов получается только при условии, что эти объекты (их крайние точки) видны из оптического цен­тра линзы под малым углом к главной оси. При несоблюдении этого условия изображение получается более или менее расплывчатым и искаженным.

Рис. 209. Построение изображе­ния протяженного объекта в сфе­рическом зеркале