В фокусе В

Влияние отражения от разных поверхностей на форму фронта волны хорошо иллюстрируется на ряде снимков, приведенных на рис. 271 и изображающих отражение зву­кового импульса в воздухе. Аналогичные картины могут быть без труда получены и при наблюдении преломленных волн.

§ 129. Принцип Гюйгенса. Рисунки, представленные в предыдущем параграфе, дают лишь общее качествен­ное понятие о волновом характере распространения све­та и о действии отражения и преломления на световую волну.

Но еще Гюйгенс сумел использовать представление о распространении волн в среде для количественного расчета законов преломления и отражения. С этой целью им был сформулирован общий принцип, которому подчиня­ется распространение волн. Этот принцип Гюйгенса пред­ставляют собой правило, позволяющее, исходя из положе­ния волнового фронта в какой-нибудь момент времени, найти положение волнового фронта для ближайшего более позднего момента времени.

Согласно принципу Гюйгенса каждую точку среды, ко­торой достигла волна, можно рассматривать как источник вторичных сферических волн, распространяющихся со ско­ростью, свойственной среде. Огибающая поверхность, т. е. поверхность, касающаяся всех сферических вторичных волн в том положении, которого они достигнут к моменту вре­мени t, и представляет собой волновой фронт в этот момент.

Поверхность, на которой расположены точки среды, выбранные в качестве источников вторичных волн, является для построения Гюйгенса вспомогательной по­верхностью. Она не должна обязательно совпадать с поло­жением какого-либо волнового фронта, но может быть по­верхностью, до которой первичные волны доходят в раз­ные моменты времени.

Для отыскания же фронта волны к моменту t надо пост­роить положение вторичных волн к этому моменту и про­вести огибающую поверхность. Таким образом, из точек, достигнутых первичной волной в более ранний момент, вто­ричные волны успеют разойтись на большие расстояния, а из точек, позже принятых за центр вторичных волн,— на меньшие.

Принцип Гюйгенса дает возможность найти интересую­щую нас огибающую, выбирая вспомогательную поверхность различными способами, но окончательный результат, ко­нечно, будет один и тот же. На рис. 272 рассматривается рас­пространение сферической расходящейся волны, фронт кото­рой в некоторый момент времени t ₀ занимает положение Р ₀. В разные точки вспомогательной поверхности Р свет от источника приходит в разные моменты времени. Таким об­разом, при применении принципа Гюйгенса можно выби­рать центры вторичных волн наиболее удобным для решения данной задачи способом. Благодаря этому

Рис. 272. К пояснению принципа Гюйгенса: Р₀ — вспомогательная поверхность, совпадающая в момент t₀=0 с положением фронта сфери­ческой расходящейся волны; соответствующие вторичные волны (цент­ры — светлые кружки) изображены сплошными дугами; Р — произ­вольная вспомогательная поверхность; соответствующие вторичные волны (центры — крестики) изображены штриховыми дугами; S — волновая поверхность в момент t, построенная как огибающая вторич­ных волн

принцип Гюйгенса с большой пользой применяется при раз­боре различных вопросов о распространении волн. Один из примеров такого применения мы найдем в следующем параграфе.

§ 130. Законы отражения и преломления света на основе принципа Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред аb (рис. 273) падает параллельный пучок лучей, образуя

Рис. 273. К нахождению закона преломления волн. ОВ — поверхность падающей волны, ab — поверхность раздела двух сред, NC — поверх­ность преломленной волны

угол i с перпендикуляром к поверхности раздела. Согласно закону преломления пучок преломленных лучей будет рас­пространяться по направлению, задаваемому углом r. Закон преломления, выведенный из опыта, гласит:

где n — показатель преломления второй среды относитель­но первой,— есть величина, не зависящая от угла паде­ния света i и характеризующая свойства обеих сред.

Согласно волновым представлениям опи­санная задача сводится к следующему. На поверхность раз­дела падает плоская волна, поверхность которой со­ставляет угол i с поверхностью раздела. Скорость распрост­ранения волны в первой среде есть v ₁, во второй — v ₂.

Для нахождения закона преломления и показателя преломления воспользуемся принципом Гюйгенса. Задача решается без труда, если мы выберем в качестве центров вторичных волн точки, лежащие на границе раздела. Пусть в момент времени t =0 падающая плоская волна до­стигает в точке О границы раздела, т. е. поверхность падаю­щей волны имеет положение ОМ, Найдем положение огиба­ющей к моменту t= t, когда точка В поверхности падающей волны успеет достигнуть границы раздела в точке С. Так как скорость волны в первой среде есть v ₁, то расстояние ВС рав­но v ₁t. Вторичная волна из точки О успеет за это время рас­пространиться во второй среде на расстояние OF = v ₂t. Точ­ка D будет достигнута первичной волной несколько позже, и вторичная волна от нее успеет к моменту т проникнуть во вторую среду на меньшую глубину, равную DG; от точки Е глубина проникновения будет еще меньше — ЕН; от точки С к моменту т распространение волны еще не начнется, ибо к этому моменту точка С только будет достигнута пер­вичной волной. Построив огибающую, которая оказывается плоскостью, касающейся всех вторичных сферических волн, найдем линию CN — положение фронта преломленной волны; этот фронт распространяется во второй среде со скоростью v ₂ по направлению OF (^ CN), задаваемому уг­лом r.

Из D ОВС и D COF найдем соотношение между углами i и r, т. е. закон преломления. Действительно, BC=v ₁t =ОС sin i, OF=v ₂t =OC sin r, откуда

Если обозначить отношение v ₁ /v ₂ через n, то получим закон преломления в обычной его форме sini / sin r=n. Величина n не зависит от углов i и r и носит название показателя преломления.

Мы не только нашли путем рассуждений Гюйгенса пра­вильный закон преломления, но и объяснили физиче­ский смысл показателя преломления n: показатель преломления равен отношению скорости свето­вой волны в первой среде к скорости ее во второй.

Если первая среда воздух (или вакуум, что для многих вопросов практически одно и то же), а вторая — вода, то из опыта известно, что n =1,33. Таким образом, наши рассуж­дения приводят к выводу, что скорость света в воздухе (вакууме) в 1,33 раза больше, чем в воде. Мы увидим (§ 153), что прямые измерения скорости света в воде и в воздухе подтверждают этот вывод.

Аналогичным способом можно рассмотреть явления от­ражения волны. Мы найдем закон отражения: угол отраже­ния равен углу падения.

§ 131. Принцип Гюйгенса в толковании Френеля. Изложен­ное в предыдущем параграфе наглядно показывает плодот­ворность принципа Гюйгенса для решения многих важных задач оптики. В формулировке Гюйгенса принцип этот имел характер геометрического правила, согласно которому результат действия вторичных волн мо­жет быть найден построением поверхности, огибающей эти волны. Французский физик Огюстен Френель (1788—1827), заимствовав из принципа Гюйгенса представление о вто­ричных волнах, применил к ним законы интерференции. Согласно Френелю правило построения огибающей должно быть заменено расчетом взаимной интерференции вторич­ных волн; такой расчет приводит к тем же результатам, что и первоначальное правило Гюйгенса.

Способ Френеля не только вкладывает более глубокое физическое содержание в принцип Гюйгенса, но и делает возможным решение ряда новых задач, которые не могли быть исследованы по первоначальному методу Гюйгенса.

Пусть, например, волна распространяется в однород­ной среде по определенному направлению. Любая точ­ка, до которой дойдет волна, становится источником вто­ричных волн, которые разбегаются во все стороны. Может показаться, что благодаря этому первоначальное направле­ние распространения изменится и световая волна рассеется в стороны. Однако если учесть, согласно Френелю, взаим­ную интерференцию этих вторичных волн, то окажется, что в боковых направлениях вторичные волны взаимно уничтожают друг друга и лишь в первоначальном направлении они взаимно усиливаются. Поэтому свет распространяется лишь в первоначальном направлении. Мы приходим, следователь­но, к объяснению прямолинейного распространения света в однородной среде.

Если, однако, среда неоднородна, например содержит посторонние включения или состоит из различных сред (на­пример, в воздухе расположены зеркала, пластинки, лин­зы и т. д.), то результат будет иной. Свет при прохождении через такую сложную среду не распространяется прямоли­нейно, а рассеивается в стороны или испытывает отражения, преломления и т. д. Мы видели, например, в § 130, как с помощью принципа Гюйгенса можно получить количест­венные законы преломления и отражения.

Таким образом, все основные законы геометрической оп­тики — закон прямолинейного распространения, закон пре­ломления, закон отражения — оказалось возможным ис­толковать с волновой точки зрения с помощью принципа Гюйгенса — Френеля.

Еще более важным является то обстоятельство, что с по­мощью этого принципа можно рассмотреть, как протекают оптические явления при условиях, когда законы геометри­ческой оптики перестают быть справедливыми.

§ 132. Простейшие дифракционные явления. Простей­ший случай нарушения законов геометрической оп­тики был описан в § 80, где было показано, что в случае прохождения света через очень малое отверстие не соблю­дается правило прямолинейного распространения: свет на краях отверстия заметно отклоняется в стороны, огибая края. Такого рода огибание можно при внимательном наблюдении обнаружить при отбрасывании на экран те­ни от любого препятствия, даже если оно не очень мало. Но так как угол отклонения света от направления прямо­линейного распространения обычно невелик, то наблюде­ние облегчится, если экран расположить далеко от пре­пятствия.

Так, свет, идущий от небольшого яркого источника че­рез круглое отверстие диаметра d (рис. 274, а), должен по правилам геометрической оптики дать на экране ММ резко ограниченный светлый кружок на темном фоне (рис. 274, б). Такая картина и наблюдается практически при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экра­на в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то удается наблюдать важные детали явления: образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец, постепенно пере­ходящих друг в друга (рис. 274, в). При другом соотноше­нии между диаметром отверстия и расстоянием до экрана в центре картины может быть темное пятно. Этот случай осо­бенно наглядно характеризует волновые свойства света и совершенно необъясним с позиции геометрической оптики (подробнее см. § 133).

Рис. 274. Дифракция от круглого отверстия: а) схема опыта; б) вид