Работа сил электростатического поля

5.1. Работа электрического поля. Циркуляция вектора.

Пусть заряд в электростатическом поле совершает перемещение

по некоторой криволинейной траектории. Работа электрических сил

над зарядом на пути находится интегрированием по всем

элементарным участкам пути от точки до точки :

, (5.1)

Из курса механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным или потенциальным. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле образованное системой неподвижных зарядов. Поэтому при любом выборе начальной и конечной точек работа сил поля не зависит от формы пути, а определяется только положением этих точек.

Поскольку любое электростатическое поле можно, используя принцип суперпозиции, представить как поле, образованное совокупностью точечных зарядов, полезно сосчитать работу по перемещению пробного заряда в поле неподвижного точечного заряда .

Напряженность поля точечного заряда , поэтому работа сил этого поля по перемещению заряда находится как

. (5.2)

Здесь мы использовали, что , где элементарное приращение вектора .

Полученное соотношение следует из приведенного рисунка или может быть получено дифференцированием тождества .

В силу потенциальности электростатического поля работа его сил по замкнутому контуру равна нулю, т.е. можно записать

. (5.3)

Это одно из фундаментальных уравнений электростатики (часть уравнения Максвелла), являющееся математическим выражением теоремы о циркуляции.

Интеграл, стоящий в левой части уравнения (5.3), называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру . Интеграл в выражении (5.3) – линейный, т.е. он берется по некоторой линии (пути).

Термин “циркуляция ” происходит от латинского circulatio – круговращение. Он характеризует движение по замкнутой траектории и служит мерой завихренности движения.

Теорема о циркуляции вектора .

Циркуляция вектора в любом электростатическом поле равна нулю.

Всякое векторное поле является потенциальным, если циркуляция этого вектора по любому замкнутому контуру равна нулю.

Примечание. Из теоремы о циркуляции вектора вытекает весьма важный вывод: линии электростатического поля вектора не могут быть замкнутыми.

5.2. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора .

Пусть имеется векторное поле

. (5.4)

Чтобы получить математическое выражение теоремы о циркуляции вектора в дифференциальной форме, рассмотрим бесконечно малый контур на плоскости , ориентированный так, что ось направлена на нас (см. рисунок). Направление обхода контура выбрано так, что вектор обойденной площадки направлен вдоль оси z (т.е. в соответствии с правилом буравчика смотрит на нас).

Найдем циркуляцию вектора по бесконечно малому контуру :

. (5.5)

Минус в двух последних слагаемых появился из-за того, что и отсчитываются в стороны, противоположные направлениям соответствующих осей. Рассмотрим отдельно слагаемые, соответствующие отрезкам 1 и 2:

. (5.6)

Здесь - элементарная площадка, ограниченная контуром .

Аналогично на отрезках 3 и 4 получаем

. (5.7)

Итак, обходя весь бесконечно малый контур , получаем

. (5.8)

Точно так же можно выбрать маленькие площадки, перпендикулярные к осям и . Определяя циркуляцию вектора по контурам этих площадок, получаем совершенно аналогичные по форме выражения:

. (5.9)

. (5.10)

Выражения (5.8) – (5.10) можно рассматривать как соответствующие компоненты скалярного произведения некоего вектора, который мы назовем ротором вектора и определим следующим образом:

(5.11)

и вектора площадки

.

Поскольку сумму правых частей выражений (5.8) – (5.10) можно представить как

. (5.12)

то нормальную к площадке составляющую ротора определяем следующим образом:

. (5.13)

Итак, в каждой точке любого векторного поля, например, поля вектора , можно определить вектор , направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке.

Для поверхностей сложной формы направление вектора определяется тем направлением нормали к поверхности , при котором достигается максимальное значение величины, определяемой выражением (5.13), являющееся одновременно модулем вектора .

Иная запись ротора может быть формально сделана через оператор :

(5.14)

или в виде определителя:

. (5.15)

Поскольку для электрического поля циркуляция вектора по любому контуру равна нулю, то исходя из (5.13), ротор (вихрь) вектора также равен нулю. Т.о., для электростатического поля имеем

. (5.16)

5.3. Теорема Стокса.

Вернемся к контуру , ограничивающему поверхность . Разобьем поверхность на одинаковые маленькие площадки , выбрав одинаковые направления обхода вокруг каждой из них. Стягивая эти площадки к точке () и устремляя длину каждого элементарного контура к нулю (), получим

.

Как видно из рисунка, циркуляция вектора по внутренним границам заполняющих поверхность площадок равна нулю. Поэтому отличной от нуля будет лишь циркуляция вектора по контуру , ограничивающему поверхность . В то же время в правой части уравнения мы будем иметь сумму (в пределе – интеграл) произведений площади каждого элементарного участка на нормальную компоненту ().

Т.о., мы приходим к равенству

, (5.17)

выражающему широко используемую в математических преобразованиях теории поля теорему Стокса.

Теорема Стокса связывает линейный интеграл от произвольного вектора (интеграл слева берется по произвольному замкнутому контуру) с поверхностным интегралом от ротора этого вектора (интеграл справа берется по произвольной поверхности, натянутой на этот контур).