Уравнение Пуассона для ОПЗ

Запишем уравнение Пуассона для полупроводника p -типа:

(3.6)

Величина ρ (z) в общем случае, когда отсутствует ограничение на малость возмущения, будет:

. (3.7)

В квазинейтральном объеме, где условие электронейтральности выполняется, ρ (z) = 0.

Тогда

. (3.8)

Поскольку, как было показано в (3.3 – 3.5),

,

,

для ρ (z) в ОПЗ имеем:

. (3.9)

Подставляя (3.9) в (3.6), имеем для нахождения ψ (z) дифференциальное уравнение:

. (3.10)

Домножим выражение для дебаевской длины экранирования, которое представлено в разделе 2.5 формулой (2.23), слева и справа на величину . Тогда

. (3.11)

Следовательно,

. (3.12)

Проинтегрировав (3.12) от бесконечности до некоторой точки ОПЗ, получаем:

. (3.13)

Воспользовавшись определением дебаевской длины экранирования L _D (2.23), а также соотношением , получаем:

. (3.14)

Обозначим

. (3.15)

Из (3.14) и (3.15) имеем:

. (3.16)

Соотношение (3.16) называется первым интегралом уравнения Пуассона.

Знак электрического поля выбирается в зависимости от знака поверхностного потенциала. Если ψ _s > 0 (обеднение основными носителями или инверсия), поле направлено вглубь полупроводника по оси z и положительно. При ψ _s < 0 поле E направлено против оси z и отрицательно.

Величина электрического поля на поверхности E _s будет:

. (3.17)

Поскольку согласно теореме Гаусса величина электрического поля на поверхности E _s связана определенным образом с плотностью пространственного заряда на единицу площади Q _sc, имеем:

. (3.18)

Отметим, что соотношения (3.16 – 3.18), полученные в этом разделе, являются очень важными и будут в дальнейшем неоднократно привлекаться для анализа ОПЗ.