Способ второй

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом и не перпендикулярны, то ориентированный угол между ними можно найти с помощью формулы:

Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых задачах.

Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем наши прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты:

1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Используем формулу:

Ответ:

Второй способ уместно использовать тогда, когда уравнения прямых изначально заданы с угловым коэффициентом. Следует отметить, что если хотя бы одна прямая параллельна оси ординат, то формула не применима вообще, поскольку для таких прямых угловой коэффициент не определён (см. статью Уравнение прямой на плоскости).

Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых с помощью формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов:

Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (180-ти градусов) вычитать получившийся арккосинус.

Желающие могут прорешать задачу третьим способом. Но я рекомендую всё-таки придерживаться первого подхода с ориентированным углом, по той причине, что он широко распространён.

Пример 11

Найти угол между прямыми .

Это пример для самостоятельного решения. Попробуйте решить его двумя способами.

Как-то заглохла по ходу дела сказка…. Потому что нет никакого Кащея Бессмертного. Есть я, причём, не особо запаренный. Если честно, думал, статья значительно длиннее выйдет. Но все равно возьму недавно приобретенную шапочку с очками и пойду купаться в сентябрьской озёрной воде. Отлично снимает усталость и негативную энергетику.

До скорых встреч!

И помните, Бабу-Ягу никто не отменял =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Найдём направляющий вектор прямой :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору . Так как одна из координат направляющего вектора нулевая, уравнение перепишем в виде:

Ответ:

Пример 5: Решение:
1) Уравнение прямой составим по двум точкам :

2) Уравнение прямой составим по двум точкам :

3) Соответствующие коэффициенты при переменных не пропорциональны: , значит, прямые пересекаются.
4) Найдём точку :

Примечание: здесь первое уравнение системы умножено на 5, затем из 1-го уравнения почленно вычтено 2-ое.
Ответ:

Пример 7: Решение:
1) Найдём нормальный вектор прямой: .
2) Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

3) Найдём точку пересечения прямых :

Примечание: второе уравнение умножено на 4, затем уравнения сложены почленно.
Ответ:

Пример 9: Решение: Расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно найти одну точку, принадлежащую любой из прямых. В целях удобного подбора точки перепишем уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом: . Точка . Вычислим расстояние:

Последним действием числитель и знаменатель умножен на – чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Ответ:

Пример 11: Решение:
Способ первый
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

Таким образом:

Ответ:
Способ второй применить нельзя, так как прямая параллельна оси ординат, и её угловой коэффициент не определён.

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Линейные неравенства. Системы линейных неравенств

На уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой . Уравнение – хорошо, в жизни пригодится, но не менее важно знать геометрический смысл линейных неравенств двух переменных. Принципиальное отличие от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если в примерах статьи Область определения функции существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды.

Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью.