Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Плоскость в пространстве. Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости
|
|
Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.
1) Уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно нормальному вектору 
:
, (5.1)
где - нормаль.
| Рис. 5.1 | Уравнение (5.1) получено из следующих соображений. Если  - произвольная точка плоскости  , то вектор  перпендикулярен нормали  , т.е.  , откуда следует, что
.
|
2) Общее уравнение плоскости
, (5.2)
где коэффициенты 
, 
, 
- координаты нормального вектора .
Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число 
обозначить за 
. Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно 
, 
и 
.
Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.
3) Уравнение плоскости «в отрезках»
(5.3)
 
  
  
Рис.5.2 | где  , и  - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях  ,  и  соответственно.
Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа (если  ) в правую часть равенства и делением уравнения на число  .
|
4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
и 
, не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:
. (5.4)
| Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если  - произвольная точка плоскости , то три вектора
 ,  ,
|
лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. 
. Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).
Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).
5) Расстояние от точки до плоскости 
, заданной общим уравнением вычисляется по формуле:
. (5.5)
6) Угол между двумя плоскостями.
Пусть даны две плоскости:
с нормалью 
и
с нормалью 
.
В качестве угла 
между плоскостями 
и 
принимается угол между их нормалями: 
или в координатной форме
. (5.6)
7) Условие параллельности двух плоскостей и :
или в координатной форме
. (5.7)
Если 
, то обе плоскости и совпадают.
8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :
или в координатной форме
. (5.8)
9) Неполные уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты , , и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.
Рассмотрим различные виды неполных уравнений.
а) Если 
, то плоскость 
проходит через начало координат (поскольку координаты 
удовлетворяют этому уравнению);
б) Если 
, то плоскость 
параллельна оси 
;
в) Если 
, то плоскость 
параллельна оси 
;
г) Если 
, то плоскость 
параллельна оси 
.
Признак параллельности плоскости координатной оси:
- если в уравнении нет переменной 
, то плоскость параллельна оси ;
- если в уравнении нет переменной 
, то плоскость параллельна оси ;
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ,
т.е. плоскость параллельна той координатной оси, наименование которой отсутствует в уравнении плоскости.
д) Если 
, то плоскость 
параллельна координатной плоскости 
(так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
е) Если 
, то плоскость 
параллельна координатной плоскости 
(так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
ж) Если 
, то плоскость 
параллельна координатной плоскости 
(так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
з) Если 
, то уравнение 
задает координатную плоскость 
(так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);
и) Если 
, то уравнение 
задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);
к) Если 
, то уравнение 
задает координатную плоскость 
(так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат).
Date: 2015-05-04; view: 759; Нарушение авторских прав