Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Плоскость в пространстве. Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости





 

Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору :

, (5.1)

где - нормаль.

Рис. 5.1 Уравнение (5.1) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то вектор перпендикулярен нормали , т.е. , откуда следует, что .

2) Общее уравнение плоскости

 

, (5.2)

где коэффициенты , , - координаты нормального вектора .

 

Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число обозначить за . Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно , и .

Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

 

3) Уравнение плоскости «в отрезках»

(5.3)

 

О

Рис.5.2

где , и - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и соответственно. Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа (если ) в правую часть равенства и делением уравнения на число .

 

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:

. (5.4)

 

Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то три вектора , ,

лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. . Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).

Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).

 

5) Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле:



. (5.5)

 

6) Угол между двумя плоскостями.

Пусть даны две плоскости:

с нормалью и

с нормалью .

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормалями: или в координатной форме

. (5.6)

 

7) Условие параллельности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.7)

Если , то обе плоскости и совпадают.

 

8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.8)

9) Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты , , и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений.

а) Если , то плоскость проходит через начало координат (поскольку координаты удовлетворяют этому уравнению);

б) Если , то плоскость параллельна оси ;

в) Если , то плоскость параллельна оси ;

г) Если , то плоскость параллельна оси .

Признак параллельности плоскости координатной оси:

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ,

т.е. плоскость параллельна той координатной оси, наименование которой отсутствует в уравнении плоскости.

д) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

е) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

ж) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

з) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);

и) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);

к) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат).








Date: 2015-05-04; view: 451; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.01 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию