Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Уравнения прямой на плоскости





Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

Уравнения прямой на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида

. (4.1)

Это равенство, если оно выполняется не для всех пар чисел и , называется уравнением некоторой линии в заданной системе координат . Уравнение (4.1) определяет или задает линию .

Известно, что любое линейное уравнение с двумя переменными определяет прямую линию на плоскости.

Чтобы написать уравнение прямой , ее надо задать. Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой, так как имеют одно и то же множество решений – координаты точек прямой .

Зададим прямую при помощи точки , принадлежащей данной прямой, и ненулевого вектора , перпендикулярного этой прямой (рис. 4.1).

 
 
 


 

 

 

 
 


О

Рис. 4.1

  Эти условия однозначно определяют прямую, так как через точку перпендикулярно вектору можно провести только одну прямую. Пусть - произвольная точка прямой . Так как , то и , т.е.  

 

. (4.2)

Каждый ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, называется ее нормальным вектором.

Уравнение (1.2) называется уравнением прямой, заданной с помощью нормального вектора и точки.

Зададим прямую при помощи двух точек и , принадлежащих этой прямой.

Эти условия однозначно определяют прямую, так как через две заданные точки можно провести только одну прямую.

 
 


 

 

 

О

Рис. 4.2.

Пусть - произвольная точка прямой . Так как , то и   (4.3)

 

Уравнение (4.3) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнения (4.2) и (4.3) с помощью тождественных преобразований приводятся к равносильному виду

. (4.4)

Уравнение (4.4) называется общим уравнением прямой линии. Здесь - какие-либо числа. Некоторые коэффициенты могут равняться нулю, однако хотя бы одно из чисел или должно быть отлично от нуля, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты и .



Если в (4.4) какой-либо из коэффициентов равен нулю, то:

1) при : - прямая проходит через начало координат;

2) при ( ): - прямая, параллельная оси ;

3) при ( ): - прямая, параллельная оси ;

4) при : - ось ;

5) при : - ось .

 
 


 

 

 

 

О

Рис. 4.3

Если ни один из коэффициентов уравнения (4.4) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду: , (4.5) где и - величины направленных отрезков, которые отсекает прямая на осях координат (рис. 4.3).

 

Уравнение (4.5) называется уравнением прямой «в отрезках».

Из уравнения (4.4) можно выразить переменную как функцию от аргумента при :

. (4.6)

Уравнение (4.6) известно из элементарной математики, его называют уравнением с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент , где - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси . Ордината точки пересечения прямой с осью равна (рис. 4.4).

Приведем еще некоторые сведения справочного характера.

Если известны угловые коэффициенты и двух прямых (рис. 4.5.), то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

. (4.7)

Второй угол равен .

 

   

 

О

 

 

Рис. 4.4

 
 


       
   
 


О

Рис. 4.5

 

Условие параллельности двух прямых:

. (4.8)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (4.9)

Точка пересечения прямых и определяется как решение системы:

(4.10)

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние определяется по формуле

. (4.11)

 








Date: 2015-05-04; view: 406; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.035 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию