Функция полезности и максимизация полезности в кардиналистской модели

Понимание механизмов формирования спроса имеет большое значение для эффективной работы экономики. Не в последнюю очередь именно характеристики потребительского спроса определяют, что и в каком количестве производить фирмам. Поэтому для фирм, продающих свои товары на рынке, важно понимать мотивы поведения потребителей.

Современная теория, объясняющая принципы поведения потребителей, использует базовый экономический подход, заключающийся в том, что рациональный потребитель так распределит свои расходы на приобретение благ, чтобы обеспечить достижение максимального удовлетворения.

Стремление потребителя покупать блага обусловливается наличием у товаров характеристик, которые доставляют потребителю, обладающему этими благами, некоторое удовлетворение. Такую способность благ экономисты называют полезностью ( utility ). Конечно, различным людям нравятся различные характеристики товаров. Кроме того, удовлетворение потребности в одном товаре порождает другие потребности. Поэтому экономисты отмечают разнообразие и ненасыщаемость спроса. В этом смысле невозможно в полной мере спрогнозировать поведение каждого человека, как потребителя. Однако удовлетворение потребностей людей характеризуется и некоторыми общими принципами. Например, большинство людей согласятся, что степень удовлетворения зависит от количества потребляемых благ. И хотя уровень удовлетворения невозможно измерить, поскольку это характеристика внутреннего мира человека, имеющая, при этом, личностные особенности, мы все же примем допущение о том, что степень удовлетворения количественно можно определить, как бы взвесить и выразить каким-то числом. Такой подход принято называть кардиналистским, поскольку в основе его лежит ранжирование, то есть упорядочивание, по количественному признаку. Этот количественный признак экономисты и положили в основу понятия общая полезность.

Общая полезность ( total utility ) выражается общим удовлетворением, полученным при потреблении какого-то количества благ в течение определенного времени. Понятно, что общая полезность зависит (является функцией) от количества потребляемых благ. Эту зависимость принято выражать в следующей форме:

,

где: – общая полезность, получаемая потребителем; – знак зависимости; – количество потребляемых благ (соответственно, и т.д.).

Если потребляется только один вид блага, то функция полезности приобретает следующую форму:

.

Зависимость между общей полезностью и количеством потребляемого блага трудно поддается оценке. Вместе с тем, считается, что наиболее реалистично ее выражает кубическая функция:

,

где – количество потребляемого блага; – параметры зависимости, отражающие степень ее изменения.

Исследование функции общей полезности при потреблении только одного вида благ позволяет увидеть некоторые полезные характеристики процесса потребления. Так, при потреблении одного блага, как правило, возникает ситуация, когда дальнейшее увеличение потребления в ограниченный период времени не увеличивает удовлетворение, т.е. наступает насыщение потребителя (Рис.2.1.). Кроме того, такой прием дает возможность проследить за темпом изменения общей полезности при изменении объема потребления. Вообще изменение общей полезности – это очень важный параметр функции потребления, поскольку именно он оказывает решающее влияние на решение потребителя об увеличении или сокращении потребления. Экономисты исследуют изменения в удовлетворении при изменении объема потребления, используя понятие предельной полезности.

Предельная полезность ( marginal utility ) характеризует величину изменения общей полезности при изменении объема потребления блага на единицу.

Из определения предельной полезности видно, что общая полезность, соответствующая любому уровню потребления, может быть вычислена как величина интегральной предельной полезности. Действительно, существует строгое математическое соотношение между функциями общей полезности и предельной полезности. Рассмотрим это соотношение.

Для упрощения предположим, что характер изменения уровня удовлетворения при изменении потребления описывается квадратичной функцией, т. е.:

(1)

Предположим, что потребление увеличивается на некоторую величину . Конечно, в этом случае возрастет и общая полезность, получаемая потребителем. Новое уравнение общей полезности теперь будет иметь следующий вид:

или

(2)

Полученное уравнение показывает, какой будет общая полезность при уровне потребления равном . Теперь определим, насколько изменилась общая полезность при изменении уровня потребления на , то есть вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

или

(3)

Теперь мы можем определить, какую дополнительную полезность получает потребитель, если он изменяет уровень потребления на единицу. Для этого нам нужно разделить обе части уравнения (3) на :

или

(4)

Уравнение (4) показывает, насколько изменяется общая полезность, выраженная функцией , если уровень потребления изменился на единицу в интервале . Однако это выражение представляет собой весьма приблизительную оценку, поскольку интервал, в рамках которого мы ее осуществляем, не определен. Поэтому логично допустить, что исследуемые нами изменения могут различаться на различных участках рассматриваемого интервала. Для того чтобы преодолеть эту приблизительность, математики используют понятие «предел», как бы сжимая интервал до бесконечно малого. Если воспользоваться этим приемом, то есть предположить, что стремится к нулю, то мы получим следующий вид нашей функции:

(5)

Полученная формула дает нам точное выражение предельной полезности блага при любом уровне его потребления, что очень важно, учитывая тот момент, что предельная полезность блага очень динамична в процессе потребления. Кстати, термин «предельный» в том понимании, в котором мы его здесь используем, обязан своим происхождением именно математическому принципу исследования, и не имеет ничего общего с обыденным пониманием этого термина, как границы или крайней степени. Отсюда же и название целого направления в экономической методологии – маржинализма.

Таким образом, алгебраически предельная полезность определяется как степень изменения общей полезности при изменении степени потребления. Поэтому, если известна функция общей полезности, то функция предельной полезности может быть легко получена как ее первая производная. В случае с кубической функцией общей полезности функция предельной полезности приобретает следующий вид:

.

Геометрически предельную полезность для любого уровня потребления можно определить, как тангенс угла наклона функции общей полезности в точке, соответствующей данному уровню потребления.

Исследование функции предельной полезности позволяет более наглядно увидеть направления изменения общей полезности. Так, возрастание предельной полезности означает, что общая полезность увеличивается в возрастающем темпе, а снижение предельной полезности является свидетельством того, что общая полезность возрастает в убывающем темпе. Наконец, если предельная полезность, снижаясь, достигает нуля, то может быть сделан вывод о том, что достигнуто насыщение потребителя, т.е. общая полезность достигла максимума, и дальнейшее снижение предельной полезности будет означать уменьшение общей полезности (Рис.2.1.).

Замечено, что при достижении некоторого уровня потребления увеличение объема потребляемых благ сопровождается, как правило, снижением полезности, получаемой от каждой дополнительной единицы блага. Эта закономерность известна как принцип снижения предельной полезности. На нашем графике (Рис.2.1.) принцип снижения предельной полезности начинает действовать после того, как уровень потребления достигнет величины Q₁.

Теперь, когда мы видим взаимосвязь функции общей полезности и функции предельной полезности, становится понятным, почему экономисты считают, что лучше всего изменение общей полезности при изменении объема потребления выражает кубическая функция. Действительно функция предельной полезности, полученная на основе кубической функции общей полезности, содержит в себе участки возрастания и убывания, что в наибольшей степени соответствует ощущениям потребителя при наращивании потребления блага.

Чтобы проследить в рамках кардиналистской модели, как потребитель максимизирует получаемую полезность, введем некоторые упрощающие допущения, которые не меняют существа проблемы, но не позволят утонуть в частностях.

1. Мы будем исходить из того, что наш потребитель обладает всей полнотой информации о полезности благ, а также имеет вполне определенные вкусы и предпочтения;

2. Мы также полагаем, что структура потребительских предпочтений находится в соответствии с принципом убывания предельной полезности по каждому благу. Потребительские предпочтения, соответствующие принципу снижения предельной полезности называют стандартными предпочтениями;

3. Для каждого блага, из покупаемых потребителем, функция полезности не зависит от уровня и характера потребления других благ, то есть является постоянной.

Исследуем самый простой случай, когда потребитель предполагает получить максимальное удовлетворение, покупая блага по ценам, соответственно, , располагая при этом бюджетом в размере I.

Поскольку сами деньги не представляют для потребителя никакой ценности, а являются лишь средством приобретения благ, отметим, что весь бюджет потребителя должен быть потрачен на приобретение благ , то есть:

Примем это как первое условие максимизации полезности или равновесия потребителя.

Теперь перед нами стоит более сложная задача, определить в каком количестве и в какой очередности должен потребитель покупать блага. Решить эту задачу нам поможет рассмотрение влияния на цель, к которой стремится человек, каждой дополнительной операции, совершаемой им. Осуществляя рациональное поведение, потребитель наверняка в первую очередь приобретет именно то благо, которое обеспечивает ему наибольшую предельную полезность, приходящуюся на единицу затрат. Поскольку в соответствии с принципом снижения предельной полезности каждая дополнительная единица определенного блага обладает меньшей предельной полезностью, чем предыдущая, потребитель, совершая каждый новый шаг, всякий раз будет взвешивать блага на весах их цены. Нетрудно увидеть, что такие действия, в конечном счете, приведут к уравниванию отношения предельной полезности блага к его цене для всех покупаемых благ. Таким образом, второе условие максимизации полезности или равновесия потребителя можно сформулировать следующим образом. Потребителю следует так организовать свои покупки, чтобы предельная полезность, приходящаяся на единицу затрат, была равна для всех покупаемых благ, то есть:

.

Отметим попутно, что данная концепция находится в полном соответствии с законом спроса. Ведь из равенства следует, что в случае снижения цены какого-либо блага для восстановления равенства необходимо увеличить его покупки. Или, по-другому, снижение цены какого-либо товара увеличивает для потребителя его предельную полезность, приходящуюся на единицу затрат, что стимулирует увеличение покупок этого блага.