О формах потери устойчивости

Под устойчивостью магистрального трубопровода будем пони­мать его способность сохранять прямолинейное или начальное упругоискривленное положение при воздействии сил, направ­ленных вдоль главной оси труб. Рассмотрим участок прямоли­нейного подземного трубопровода, в котором действует про­дольная сжимающая сила (рис. 7.1). Допустим, что на участке Яо труба получила импульс, который вызвал ее поперечное дви­жение типа колебаний (показано пунктиром). Равновесное по­ложение трубопровода при действии продольной силы будет ус­тойчивым, если он возвращается в начальное прямолинейное положение. Если трубопровод имел начальное искривление, то он должен возвратиться в положение, характеризуемое началь­ной стрелкой прогиба. В этом случае необходимо рассматри­вать устойчивость искривленной формы трубопровода. Если про­дольную силу увеличить, то при некотором ее значении, полу­чив какой-то импульс и отклонившись от начальной формы, труба на участке Ко не возвратится в исходное положение. Про­дольная сила, при которой происходит такое явление, называ­ется критической и обозначается Р_кр, а само явление называ­ется потерей продольной устойчивости. Если представить зави­симость прогиба / от продольной силы Р, то до значений Р<Р_кр трубопровод может сохранять прямолинейное положение. Де­формации его будут определяться лишь сжатием трубы. Такой случай устойчивости называется устойчивостью в малом. Если труба в пределах К получит какой-нибудь достаточно сильный импульс, то из формы устойчивости, определяемой кривой / (рис. 7.2), она может скачкообразно искривляться с образова­нием достаточно большой стрелки прогиба. При этом продоль­ная сила уменьшится и установится новое равновесное состоя­ние, характеризуемое стрелкой прогиба f и критической силой Ркр. н. Такое устойчивое состояние, при котором трубопровод

может совершать незначительные колебания около новой устойчивой формы, называют устойчивостью в большом. Соответственно крити­ческая сила Р_кр. в называется верх­ней критической силой, а Р_кр. н — нижней. Нижняя критическая сила может быть значительно меньше верхней. Поэтому при исследовании устойчивости трубопровода необхо­димо изучать оба вида потери ус­тойчивости: в малом и в большом. Трубопровод может сохранять пря­молинейную форму до Р_Кр. в, но при некоторых условиях может поте­рять устойчивость прямолинейной формы и при Р^Ркр.н- Из теории устойчивости упругих систем из­вестно, что при / и Р, соответствую­щих правой ветви кривой 2 (правее

точки а), равновесные формы уже искривленного трубопровода будут устойчивыми, а при f и Р, соответствующих левой части кривой,— неустойчивыми. Это следует из энергетического кри­терия устойчивости. Любая упругая система (в том числе и под­земный трубопровод), подвергающаяся воздействию внутренних и внешних сил, имеет полную энергию

где U — потенциальная энергия деформации изгиба и сжатия трубопровода; W — работа внешних сил на его перемещениях. Возможность потери устойчивости какой-либо начальной формы упругой системы наступает, когда первая вариация от полной энергии

Устойчивой формой упругая система обладает, когда вторая вариация полной энергии

Если же

то равновесная форма неустойчива.

Таким образом, задача исследования устойчивости упругой системы заключается в определении ее равновесных форм в со­ответствии с (7.2) и

оценке их устойчивости по (7.3) и (7.4).

Известно, что потенциальная энергия изгибающего стержня

где EI — жесткость сечения трубы.

Энергия сжатия трубопровода продольной силой (до искрив­ления трубопровода)

где А — приращение длины искривленного участка трубопро­вода. Работа силы Р

Если трубопровод расположен в упругой грунтовой среде, ха­рактеризуемой коэффициентом постели £₀, то работа сжатия грунта

а если рассматривать грунт как жесткопластичную среду, то ра­бота распределенной нагрузки q будет

для упругой грунтовой среды. В выражения (7.5—7.10) входит величина у, характери­зующая положение упругой оси трубопровода.

Анализ возможных форм искривления трубопроводов позво­ляет представить их следующим образом. Потеря устойчивости в форме выпучины (рис. 7.3, а) описывается уравнением

а потеря устойчивости с искривлением по форме, показанной на рис. 7.3, в, — уравнением

потеря устойчивости по форме рис. 7.3, б на практике встреча­ется очень редко. Наибольшее число зарегистрированных слу­чаев потери устойчивости отвечает условию (7.13), т. е. искрив­лению в форме выпучины. Эту форму и форму, показанную на рис. 7.3, в, мы и рассмотрим. Представляется необходимым оха­рактеризовать расчетные модели грунта, используемые при ис­следовании устойчивости.

В механике грунтов наиболее полно разработаны две модели грунтовой среды: модель пластичного тела Прандтля — Кулона и модель упругого грунта, соответствующая основным предпо­сылкам так называемого коэффициента постели. Модель плас­тичного тела Прандтля — Кулона используется при расчетах устойчивости сооружений на сдвиг. При значительных переме­щениях, когда в грунте возникает предельное напряженное со­стояние, применение этой модели считается вполне оправдан­ным. Однако при перемещениях, которые меньше предельных, ее использование искажает действительную картину работы грунтовой среды. Применительно к расчету продольной устой­чивости это несоответствие ясно видно из рис. 7.4, а. Незави­симо от положения, занимаемого трубопроводом, для любых его

сечении реакции грунта
считаются постоянными и
равными его предельной
несущей способности для случая вдавливания цилиндрического штампа.
В сечениях х=0 и х=К реакция грунта переходит че­
рез нуль скачкообразно от
+ q до — q. Таким образом,
применение модели пластичного тела может быть
оправдано, если перемещения превышают предельное
значение для данного
грунта и диаметра трубы. Нами были проведены эксперименты по определению сопротивления грунта перемещающемуся цилиндру при различной высоте слоя грунта над ним. Было установлено, что перемещения при незначительных подвижках линейно зависят от возмущающей силы, затем зависимость становится нели­нейной, и только при полном использовании несущей способ­ности грунта движение цилиндра в нем происходит при посто­янном возмущающем усилии, что соответствует движению ци­линдра в пластичном грунте (модель Прандтля — Кулона). Переходу грунта в предельное напряженное состояние пред­шествует упругая стадия его работы. Модель упругого грунта часто применяют в механике грунтов при определении реак­ций грунта по подошве сооружений конечной жесткости. Ос­новным допущением модели является условие q(x) =k₀w(x) X Х£>н, где q(x) —реакция грунта; w(x) —перемещение трубы. Рассмотрим схему взаимодействия грунта и труб при попе­речных перемещениях. Искривление трубопровода по схеме, изображенной на рис. 7.4, б, вызывает со стороны грунта сопро­тивление, возрастающее по мере увеличения прогиба. Как только в каком-либо сечении будет выполнено условие w(x) = =/пр, сопротивление грунта достигнет предельного значения q_nv и при увеличении стрелки прогиба / будет постоянным. Про­гибы соседних сечений могут стать больше /_пр, и тогда область предельно напряженного грунта, обладающего свойством плас­тичного тела, распространится на какую-то часть полуволны или волны Я,. Первоначальное искривление прямолинейного тру­бопровода от воздействия продольного усилия происходит при упругом отпоре со стороны грунта, так как любые грунты при малых деформациях обладают упругими свойствами. До /</_Пр взаимодействие между трубопроводом и грунтом имеет упругий (линейный) или упругопластичный (нелинейный) характер. При возникновении предельного постоянного сопротивления грунта на части А, сжимающее усилие будет зависеть одновременно от q(x) и q.