Оптимальное профилирование

Под оптимальным будем понимать профиль, при котором требу­ются минимальные затраты на обеспечение высотного положе­ния трубопровода и выполняются необходимые условия по надежности, зависящие от этого положения. К ним относятся обеспечение продольной устойчивости, защита от механических повреждений, обеспечение необходимой тепловой защиты и т. п. Перечисленные условия обеспечиваются необходимой глубиной заложения Л₃, пригрузкой или закреплением труб анкерами, ус­тановкой кривых труб малого радиуса, упругим искривлением трубопровода. Перед началом профилирования должны быть определены и четко зафиксированы: минимально допустимая глубина заложения труб /i₃min, наибольшая глубина заложения Лятят, минимальный радиус упругого искривления

трубопро­вода /?_min, радиус кривизны поворотов из кривых труб /?„_р.

Рассмотрим сначала случай профилирования только при уп­ругом искривлении труб. При условии выполнения перечис­ленных требований должен быть получен минимум затрат на земляные, изоляционно-укладочные работы и работы по пригрузке труб. Кроме того, должны быть обеспечены прилегание труб к дну траншеи и прочность трубопровода. Условие при­легания труб к грунту обеспечивается, если

где ф(л:)—упругая реакция грунта основания; q(x) —распре­деленная нагрузка от массы труб, пригрузки и удерживающей силы анкерных креплений.

Реакция грунта может возникнуть только в случае ф(;с)>0; именно это условие и определяет прилегание труб к дну тран­шеи. С учетом этого из уравнения (4.9) получим условие при­легания в виде

Поясним значение q(x). Если прилегание труб происходит только за счет силы тяжести, то q(x)=q = consi и равно силе тяжести единицы длины труб. Если прилегание обеспечивается пригрузкой бетонными и иными утяжеляющими грузами, то

где qrp(x) —распределенная на единицу длины трубы сила тя­жести отдельных грузов.

Анкерное крепление при профилировании в качестве на­грузки учитывается только в том случае, если с помощью анке­ров «дожимают» трубопровод на вогнутом участке рельефа, например, как показано на рис. 4.5. Если бы трубопровод был уложен без утяжеления или анкеров,

то он бы занял положе­ние /. С помощью анкеров трубопровод можно «дожать» до дна траншеи. Однако на практике такой способ пригрузки не при­меняется. Часто для обеспечения устойчивости трубопровода на обводненных грунтах используют в качестве балласта грузы. Прочность труб при укладке обеспечивается, если

где /?min определяется по формуле (4.2) или задается, исходя из каких-либо иных соображений, например, из условия обеспе­чения продольной устойчивости.

Наконец, условие собственно оптимизации профиля можно записать в виде функции затрат на земляные работы и пригрузку труб:

где ш₃. р — затраты на выполнение земляных работ в сечении х; у(х), h(x) —соответственно отметки дна траншеи и поверхно­сти грунта в том же сечении; w_n(x) —распределенная пригрузка от веса грузов в сечении х.

Задача (4.13) может быть решена различными методами, в частности, с использованием динамического программирова­ния или идеи оптимального управления при наложении ограни­чений на поведение функции у(х) во всех точках вдоль участка рассматриваемой длины L. Это ограничение имеет следующий вид. В местах предусмотренных разрывов трубы, например в местах установки отсекающей арматуры (кранов, задвижек),

где «о и а/, — углы наклона оси трубопровода к горизонту в се­чениях х = 0 и x — L. Кроме того, во всех сечениях *>0 должны выполняться условия (4.12) и (4.13).

При использовании динамического программирования при профилировании задача решается в сеточной постановке как многошаговый процесс. Недостаток подхода — необходимость представления области поиска оптимального профиля в виде сетки. При этом упругая линия трубопровода представляется в виде ломаной линии, состоящей из отдельных прямых участ­ков. Чтобы приблизить очертание этой ломаной к реальной уп­ругой линии трубопровода, нужно брать сетку с очень малым шагом по вертикали Л/i и достаточно большим — по горизон­тали Лх. На рис. 4.6 показаны сетка с упругой линией (пунк­тир) и ее изображение в виде ломаной линии. Увеличение числа элементов ДЛ существенно усложняет процесс расчета профиля на ЭВМ.

Для решения задачи профилирования, рассматриваемой как отыскание наилучшего положения линии трубопровода в огра­ниченной высотными отметками полосе, можно применить тео­рию оптимального управления процессом. Необходимо найти минимум функции затрат, обусловленных высотным положе­нием трубопровода. Математически сформулированная эта практически важная задача относится к задачам вариацион­ного исчисления. Что понимается в задаче оптимального про­филирования под оптимальным управлением процессом, проил­люстрируем следующим образом. Пусть мы имеем функционал затрат на профилирование в виде

где Ш| — затраты на профилирование единицы длины трубопро­вода в сечении х; у(х) и h(x) —соответственно высотные от­метки дна траншеи и поверхности грунта. Допустим далее, что заданы высота полосы профилирования h(x) — y(x)=A, длина участка L, в пределах которого осуществляется ход управляе­мого процесса, а также ряд ограничений в виде условий (4.12), (4.13) и (4.14). Необходимо найти такое управление w\ при перечисленных ограничениях, при котором функционал (4.15) достигнет минимума.

Оптимальный профиль будем определять от приближенно заданного начального положения трубопровода, описываемого начальной функцией «/₀ = /о(*). В качестве такого начального положения можно принять линию, следующую параллельно линии естественного рельефа местности на глубине Л_я. На рис. 4.7 изображены обе эти линии (1,2} и полоса /1_В, в пре­делах которой возможно варьирование линии трубопровода. Если предусматривается чисто подземная схема прокладки, то положение линии трубопровода, изображенное на рис. 4.7, бу­дет предельным по минимуму глубины заложения Л_т. Естест­венно, что функционал (4.15) при таком положении трубопро­вода на участке OL достигает минимума. Но не во

всех сечениях будут выполняться Огра­ничительные условия (4.10) и (4.12). В зависимости от жест­кости труб EI их положение в соответствии с этими усло­виями должно быть иным. На рисунке эти удовлетворяющие условиям (4.10) и (4.12) поло­жения показаны пунктиоом. Однако затраты w\ для них будут большими, чем для линии /. Задача заключается в том, чтобы, управляя положением упру­гой линии трубопровода от начального (линия 2) в допустимых по условиям (4.10) и (4.12) пределах, найти положение, в кото­ром функционал (4-15) достигает минимума. Для решения за­дачи нужно иметь в каждой точке х значение w\. Затраты на профилирование Wi состоят из двух основных составляющих — стоимости земляных работ и стоимости кривых вставок: ш = = о>₃.р + а>кр. Величина w_a. p зависит от поперечного сечения траншеи, т. е. w₃. p = f(w), где со — площадь сечения траншеи, которую можно выразить через ее основные параметры — ши­рину дна Ь, заложение откосов m и глубину h_r. Соответственно Доз. р можно представить в виде функции w₃._P = f(m, b, h_T). Па­раметр /it, кроме того, определяет и измененное по сравнению с начальным положение упругой линии трубопровода в точке х, поскольку у(х) = у₀(х) —/1_Т (х).

Рассмотрим далее систему обыкновенных дифференциаль­ных уравнений, описывающих упругую линию трубопровода:

где у(х) —уравнение упругой линии; у\, у₂ и y_z — соответст­венно первая, вторая и третья производные от у(х). Управля­ющей функцией в рассматриваемом случае является функция стоимости земляных работ и установки гнутых кривых вставок малого радиуса w^x). На управляющую функцию Ш] (х) также накладывается ограничение, определяемое следующим образом. Минимум w\ будет определяться только стоимостью земляных работ при устройстве траншеи прямолинейного про­филя минимально допустимой глубины; наибольшее значение w\ будет определяться стоимостью разработки траншеи трапе­цеидального профиля максимально допустимой по условиям строительства или по иным соображениям глубины в пределах участка расчетной длины L плюс установка кривой вставки из гнутых труб. Эти значения w\ определяются предварительно; кроме того, должна быть установлена зависимость w\

от глу­бины заложения труб. Так, при профилях траншеи, изображен­ных на рис. 4.8, стоимость земляных работ на единицу длины траншеи

где с_т — стоимость устройства единицы объема траншеи (1 м³); с₃ — стоимость засыпки единицы объема траншеи после ук­ладки труб; /ч — площадь поперечного сечения траншеи,

Раздел III