V Логика высказываний

В силлогистике мы рассматривали дедуктивные умозаключения, в которых учитывается внутренняя структура простых суждений (высказываний), входящих в посылки и заключения. Умозаключения, в которых при осуществлении вывода внутренняя структура простых суждений не учитывается, называются выводами логики высказываний.

Из отдельных простых высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания: «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т. п. Выражения - «и», «либо, либо», «если, то» и т. п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из других, более простых высказываний.

Высказывание – грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания – одно из исходных, ключевых понятий логики. Как таковых, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

Анализ структуры сложных высказываний и их истинностных значений осуществляется с помощью специального формализованного языка, называемого языком логики высказываний. Как и всякий формализованный язык, он имеет строго определенный словарь, синтаксис и семантику. Словарь формализованного языка обычно представляют в виде перечня исходных знаков (т.е. своеобразного алфавита), а синтаксис – как определение формулы этого языка (т.е. как набор правил, обеспечивающих построение законченных выражений).

В алфавит языка логики высказываний входит три вида знаков:

1) Знаки пропозициональных переменных для обозначения простых высказываний – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, p, q, s, r).

2) Знаки логических постоянных, служащие для обозначения логических связок (“~ “ – отрицание, “/\” – конъюнкция, “ \/“– нестрогая дизъюнкция, “ \/ “ - строгая дизъюнкция, “→ “– импликация, “↔“– Эквиваленция).

3) Скобки -), (. (Эти регламентирующие знаки позволяют задать однозначность чтения выражений).

Определение формулы логики высказываний:

1) Любая пропозициональная переменная есть формула.

2) Если А есть формула и В есть формула, то ~ А, (А /\ В), (А \/ В), (А \/ В), (А → В), (А ↔ В) – формулы.

3) Ничего иное не является формулой.

Согласно определению, выражение (p /\ q), ((A /\ ~B) ↔(А → В)), ~(~А), r являются формулами, а выражения (А /\ В) →, s↔, /\(p → q) – нет.

Чтобы не перегружать формулы логики высказываний чрезмерным количеством скобок, примем соглашения об опускании скобок в формулах. Условимся считать, что знак ~ связывает теснее, чем все остальные логические постоянные; знак /\ - теснее, чем \/, \/, →, ↔; \/ - теснее, чем \/, → и ↔; \/ - теснее, чем →; и ↔ а → - теснее, чем ↔.

Исходя из сказанного, формулы ((А /\ ~В)→(C \/ D)), ((~(~p))↔(p→q)) можно упростить до А /\ ~В→C \/ D, ~ ~ p↔p→q.

Определение логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

1) каждое высказывание (как простое, итак и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;

2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания не-определенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т.п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит также от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным, или ложным.

Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Истинность сложных высказываний, образованных с помощью различных логических связок (операторов), можно определить, например, с помощью «таблиц истинности». Для этого необходимо указать логический смысл используемой связки (оператора).

Таблицу истинности для конъюнкции (a /\ b ) можно разъяснить на следующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых высказываний «Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же, а ложно или b ложно, либо и а и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т.е. учителю была дана ложная характеристика.

Высказывание «Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (а) или путем снижения себестоимости продукции (b)» - пример нестрогой (слабой) дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если ее члены не исключают друг друга. Такое высказывание истинно в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух высказываний (первые три строки таблицы), и ложно, когда оба высказывания ложны.

Члены строгой дизъюнкции (a \/ b) исключают друг друга. Это можно разъяснить на примере: «Я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете (b)». Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно одно из двух посылок.

Таблицу для импликации (а → b) можно разъяснить на таком примере: «Если через проводник пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (b)». Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т.е. чтобы высказывание (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т.е. высказывание (b) было ложным.

Эквиваленция в таблице (а ↔ b) характеризуется так: а ↔ b истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Особое место занимает оператор отрицания. Два высказывания, из которых одно есть отрицание другого, называют противоречащими высказываниями (см. «логический квадрат»), т. е. если одно – истинно, то другое – с необходимостью ложно. Это иллюстрируется таблицей:

Составление таблицы истинности рассмотрим на примере формулы:

(p /\ q) → p

– читается: «если p и q, то – p». Количество строк определяется по формуле 2ⁿ, где n – число переменных. В нашей формуле две переменные (p,q) – следовательно, четыре строки. Количество колонок определяется суммой числа переменных (p,q) и числа операторов (союзов). В нашем случае их тоже два (/\,→).

Логически анализ данной формулы показывает, что при любом значении («истина» или «ложь») входящих переменных ее собственное значение всегда истинно. Формулы подобные по значению приведенной называют тождественно-истинными, или законами логики, или тавтологией. Приведенная формула носит название - «закон упрощения». Уже известный, например, закон исключенного третьего имеет формулу:

p\/~p

Если формула может принимать хотя бы, по крайней мере, одно значение «истина», то ее называют выполнимой. Тождественно-ложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь» (она иначе называется противоречием). Например:

p/\~p

Использование формул (логических форм) – результат формализации. Уже выражение мышления в естественном языке можно считать первым шагом формализации. Дальнейшее ее углубление достигается введением в обычный язык разного рода специальных знаков и созданием искусственных языков. С середины XIX в. формируется математическая логика частью, которой и является, рассматриваемая здесь, логика высказываний.

Формализуем текст:

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих получение, обработку и защиту персональных данных работника, привлекаются к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном Трудовым Кодексом РФ и иными федеральными законами, а также привлекаются к гражданско-правовой, административной и уголовной ответственности в порядке, установленном федеральными законами».

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих получение персональных данных работника» - p.

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих обработку персональных данных работника» - q.

«Лица, виновные в нарушении норм, регулирующих защиту персональных данных работника» - r.

«Лица привлекаются к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном Трудовым Кодексом РФ и иными федеральными законами» - f.

«Лица привлекаются к гражданско-правовой ответственности» - g.

«Лица привлекаются к административной ответственности» - h.

«Лица привлекаются к уголовной ответственности» - t.

(p \/ q \/ r ↔ f)→g \/ h \/ t

В таблице должно быть – 128 строк и 13 столбцов. Что эта формула дает?

Из первой строки таблицы следует вывод, что лицо, виновное в нарушении норм, регулирующих получение, обработку и защиту персональных данных работника привлекается к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном Трудовым Кодексом РФ и иными федеральными законами. Но не может одновременно привлекаться к гражданско-правовой, административной и уголовной ответственности. Вторая строка утверждает, что лицо, виновное в нарушении норм, регулирующих получение персональных данных работника, привлекается к гражданско-правовой, административной и уголовной ответственности в порядке, установленном федеральными законами. Третья строка - лицо, виновные в нарушении норм, регулирующих защиту персональных данных работника, может привлекаться к гражданско-правовой ответственности. Остальные 125 строк формулируют возможные следствия, выводимые из текста.

Логическая формализация направлена на выявление и фиксацию логической формы выводов и доказательств.

Условно-категорическое умозаключение(вывод) – дедуктивное умозаключение, в котором одна из посылок – условное суждение, а другая посылка и заключение – простые категорические суждения. Такие умозаключения имеют два правильных модуса.

1. Утверждающий модус (modus ponens) – такое условно-категорическое умозаключение, в котором от утверждения истинности основания в условной посылке можно утверждать истинность следствия. Символически структуру этого модуса можно представить в виде формулы:

((p → q) /\ p) → q) или p → q, p.

q

Например:

Если гражданин совершил кражу, то он совершил преступление.

Гражданин совершил кражу._______________________________

Гражданин совершил преступление.

Это умозаключение можно сформулировать как правило: если условное высказывание и его основание истинны, то истинным будет и следствие, которое можно отделить от посылок.

2. Отрицающий модус (modus tollens) – такое условно-категорическое умозаключение, в котором от отрицания истинности следствия в условной посылке можно отрицать истинность основания. Символически:

((p → q) /\ ~ q) → ~ p) или p → q, ~ q.

~ p

Например, из суждений «Если гражданин совершил кражу, то он совершил преступление» и «Гражданин не совершил преступление» можно сделать заключение «Он не совершил кражу».

Неправильные модусы условно-категорических силлогизмов (из посылок нельзя сделать однозначный, необходимый вывод) имеют форму:

p → q, qp → q, ~ p.

??

Наряду с условными суждениями широко используются эквивалентные суждения. Например: «Если завтра суббота, то сегодня пятница»; «Раз человек нарушил закон, то он будет наказан».

Умозаключения с эквивалентными суждениями выражаются словами: «если и только если, то…», «тогда и только тогда, когда…». В таких умозаключениях все четыре модуса – правильные:

p ↔ q, p p ↔ q, ~ qp↔q, qp↔q, ~ p

q ~ p p ~ q

Разделительно-категорическое умозаключение – такое дедуктивное умозаключение, в котором одна из посылок – разделительное, а другая посылка заключение – категорические суждения. Разделительно-категорические имеют два правильных модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий.

Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo tollens) – такое разделительно-категорическое умозаключение, в котором утверждение одного из членов дизъюнкции влечет отрицание другого. Например:

Приговор суда или обвинительный, или отрицательный.

Приговор суда по данному делу обвинительный.______

Приговор суда не оправдательный.

Схема: p \/ q, p где \/ - символ строгой дизъюнкции.

~ q

В данном виде разделительно- категорического умозаключения из истинных посылок следует истинное заключение при условии, что в разделительной посылке все перечисленные суждения исключают друг друга (или одно истинно, или другое, но не оба вместе). В нашем примере это условие соблюдается.

Вывод не следует с необходимостью, если нет строгой дизъюнкции. Например, из суждений «Он лжет или смеется» и «Он смеется» нельзя сделать заключение «Он не лжет».

Отрицающе-утверждающий модус (modus tollendo ponens) – такое разделительно-категорическое умозаключение, в котором отрицание одного из членов дизъюнкции влечет утверждение другого. Например:

Преступление совершил M или N.

Доказано, что преступление не совершил M.

Преступление совершил N.

Схематично: (p \/ q), ~p

q

В данном виде разделительно- категорического умозаключения из истинных посылок следует истинное заключение при условии, что в разделительной посылке перечислены все возможные альтернативы, иначе говоря, большая посылка должна быть полным (закрытым) дизъюнктивным суждением.

Дилемма (от греч. di – дважды, lemma - предположение; двойное предположение) – это условно-разделительное умозаключение, в котором разделительное суждение в форме альтернативы утверждает или основания, или следствия условных суждений. В практике рассуждений встречаются два вида дилемм – конструктивная и деструктивная.

1. В условных посылках конструктивной дилеммы устанавливается возможность двух оснований и вытекающего из них следствия. Разделительная посылка ограничивает выбор только этими двумя условиями, а в заключении утверждается следствие. Пример простой конструктивной дилеммы:

Если С. организовал преступление,

то должен быть наказан.

Если С. участвовал в совершении преступления,

то должен быть наказан.

С. – организатор или участник преступления.

С. должен быть наказан.

Схема рассуждения:

p → q.

r → q.

____ p \/ r._____

Следовательно, q.

2.В условных посылках деструктивной дилеммы устанавливается, что из одного основания могут вытекать два следствия. В разделительной посылке отрицается одно из возможных следствий, а в заключении отрицается основание. Пример простой деструктивной дилеммы:

Если этот человек – местный житель,

то он хорошо знает окрестности.

Если этот человек – местный житель,

то он говорит на местном диалекте.

Неправда, что этот человек хорошо знает окрестности,

или неправда, что он говори на местном диалекте.

Этот человек – не местный житель.

Схема рассуждения:

р → q.

р → r.

__ Не – q или не - r.___

Следовательно, не - p.