Правила введения и удаления логических связок

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

1) если посылки F ₁ и F ₂ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е. ..

Эта запись при истинности посылок F ₁ и F ₂ предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции;

2) если имеет значение “и”, то истинными являются подформулы F ₁ и F ₂, т.е. .

Эта запись при истинности предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F ₁ и F ₂; это правило тождественно аксиомам 3 и 4;

3) если F ₁ имеет значение “и”, а – “л”, то ложной является подформулы F ₂, т.е. . Эта запись при ложности и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

4) если истинна хотя бы одна посылка F ₁ или F ₂, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

или .

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы F ₁ или F₂ предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам 6 и 7;

5) если имеет значение “и” и одна из подформул F ₁ или F ₂ имеет значение “л”, то истинной является вторая подформула F ₂ или F ₁, т.е.

или .

Эта запись при истинности предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F ₁ или F ₂;

6) если подформула F ₂ имеет значение “и”, то истинной является формула F ₁® F ₂ при любом значении подформулы F ₁, т.е. . Эта запись при истинном значении F ₂ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F ₁ (“истина из чего угодно”). Это правило тождественно аксиоме 1;

7) если подформула F ₁ имеет значение “л”, то истинной является формула F ₁® F ₂ при любом значении подформулы F ₂, т.е.

.

Эта запись при ложном значении F ₁ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F ₂ (“ из ложного что угодно”);

8) если формула F ₁® F ₂ имеет значение “и”, то истинной является формула , т.е. .

Эта запись при истинном значении F ₁® F ₂ определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это закон контрапозиции;

9) если формула F ₁® F ₂ имеет значение “и”, то истинной является формула (F ₁ Ú F ₃)®(F ₂ Ú F ₃) при любом значении F ₃, т.е.

Эта запись при истинном значении F ₁® F ₂ определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы F ₃ над каждым полюсом импликации.

10) если формула F ₁® F ₂ имеет значение “и”, то истинной является формула (F ₁ Ù F ₃)®(F ₂ Ù F ₃) при любом значении F ₃, т.е.

.

Эта запись при истинном значении F ₁® F ₂ определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы F ₃ над каждым полюсом импликации;

11) если формулы (F ₁® F ₂) и (F ₂® F ₃) имеют значение “и”, то истинной является формула (F ₁® F ₃), т.е.

.

Эта запись при истинном значении (F ₁® F ₂) и (F ₂® F ₃) предусматривает возможность формирования импликации (F ₁® F ₃) (закон силлогизма).

Пример. Дано cуждение: “Всякое общественно опасное деяние (А) наказуемо (В). Преступление (С) есть общественно опасное деяние (А). Дача взятки (D) - преступление (C). Следовательно, дача взятки наказуема?”.

A®B;С®А; D®C

D®B.

1) F₁=A®B посылка;

2) F₂=С®А посылка;

3) F₃=D®C посылка;

4) F₄=C®B заключение по формулам F₁ и F₂ и правилу 11;

5) F₅=D®B заключение по формулам F₃ и F₄ и правилу 11.

Следовательно, дача взятки (D) наказуема (B).

Пример: “Если Петров не трус (A), то он поступит в соответ­ствие с собственными убеждениями (B). Если Петров честен (C), то он не трус (A). Если Петров не честен ù(C), то он не признает своей ошибки (D). Но Петров признает свои ошибки ù(D). Следовательно, он поступит согласно собственным убеждениям (B)?"

A®B; C®A; ùC®D; ùD

B.

1) F₁=A®B посылка;

2) F₂=C®A посылка;

3) F₃=ùC®D посылка;

4) F₄=ùD посылка;

5) F₅=C®B заключение по формулам F₁, F₂ и правилу 11;

6) F₆=ùB®ùC заключению по формуле F₅ и правилу 8;

7) F₇=ùB®D заключение по формулам F₃ и F₆ и правилу 11;

8) F₈=B заключение по формулам F₄, F₇ и правилу modus tollens.

Так доказано, что Петров поступает согласно собственным убеждениям.

Пример. "Если Петров говорит неправду (A), то он заблуждается (В) или сознательно вводит в заблуждение других (С). Петров говорит неправду и явно не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других"

А®(ВÚС); AÙùB

С.

1) F₁=А®(ВÚС) - посылка;

2) F₂=AÙùB - посылка;

3) F₃=A - заключение по формуле F₂ и правилу 2;

4) F₄=ùB - заключение по формуле F₂ и правилу 2;

5) F₅=(ВÚС) - заключение по формулам F_1, F₃ и правилу modus ponens;

6) F₆=C - заключение по формулам F_4, F₅ и правилу 5.

Так доказано, что Петров сознательно вводит в заблуждение других.

Пример: Доказать истинность заключения
А;В;(АÙС ® ù В)

ù C.

1) F₁=A Ù C ® ù B - посылка;

2) F₂=B - посылка;

3) F₃=ù (A Ù C) - заключение по формулам F₁, F₂ и правилу modus tollens;

4) F₄= A - посылка;

5) F₅=ù C - заключение по формула F₃, F₄ и правилу 2.

Процесс дедуктивного вывода удобно проследить на графе, вершинами которого являются формулы, а дугами – отношения между ними (см. рис.1).

Рис.1. Граф вывода заключения

Пример. Доказать истинность заключения

(A Ú B); (A®C); (B®D)

(CÚD).

1) F₁=(A®C) посылка;

2) F₂=(AÚB)®(CÚB) заключение по формуле F₁ и правилу 9;

3) F₃=(B®D) посылка;

4) F₄=(CÚB)®(CÚD) заключение по формуле F₃ и правилу 9;

5) F₅=(AÚB)®(CÚD) заключение по формулам F₂ и F₄ и правилу 11;

6) F₆=(AÚВ) посылка;

7) F₇=(CÚD) заключение по формулам F₅ и F₆ и правилу modus ponens.

Эти примеры показывают, что правила вывода обеспечивают ло­гическую последовательность в преобразовании формул, каждая из которых есть либо посылка, либо промежуточный результат, либо заключение.