Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными

Это уравнение с разделяющимися переменными . Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными . Проинтегрируем обе части уравнения

.

Ответ: .

Пример 36. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию .

Решение. Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем сначала его общее решение. Для этого разделим переменные . Разделим обе части уравнения на . Получим . Проинтегрируем обе части уравнения . Для нахождения частного решения подставим в общее решение заданное начальное условие , . Получим . Отсюда . Подставляя найденное в общее решение, получим , которое является частным решением заданного уравнения, удовлетворяющим начальному условию .

Ответ: .

Пример 37. Решить уравнение .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение перового порядка. Решим его методом Бернулли, т.е. решение будем искать в виде произведения двух функций , где , - функции от . Найдем . Подставим эти и в заданное уравнение. Получим . Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части, вынеся за скобки: .

Выберем так, чтобы коэффициент при в уравнении (1) обратился в ноль, т.е. и найдем какое-нибудь отличное от нуля его частное решение . При найденном таким образом уравнение примет вид: . Тогда для нахождения решения необходимо решить систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Сначала решаем первое уравнение системы . Разделим Переменные . Так как требуется найти какое-нибудь отличное от нуля частное решение, то предположим, что и проинтегрируем обе части: . Получим , откуда . Подставим найденное во второе уравнение системы. Получим . Отсюда . Интегрируя обе части последнего уравнения, получим , откуда . Подставляя найденные и в , получим общее решение заданного дифференциального уравнения .

Ответ: .

Пример 38. Решить уравнение .