Аналого-цифровое преобразование сигналов

Как известно, на выходе линейного тракта РПрУ аналоговый сигнал представляет собой комплексный узкополосной случайный процесс , который может быть представлен в виде [1]

(1.1)

где – огибающая процесса (В); – угловая частота процесса (рад/с); – частота, которую обычно полагают равной промежуточной частоте РПрУ (Гц); – полная фазовая процесса (рад); – закон фазовой модуляции процесса (рад); – начальная фаза (рад).

При многоразрядном представлении в цифровой форме процесса (1.1), частота выборок которого определяется условиями теоремы Котельникова, производится обработка реального и мнимого квадратурных отсчетов в виде

(1.2)

Отметим, что огибающая и полная фазовая функция в выражении (1.1), описывающим сигнал в полярной системе координат, также как и квадратурные составляющие в (1.2), описывающие этот же сигнал в декартовой системе координат, связаны между собой соответствующими преобразованиями Гильберта [1].

В реальных условиях полагают, что ширина спектра обрабатываемого процесса полагается равной величине , при которой интенсивность спектральных компонент квадратурных составляющих полезного сигнала становится меньше интенсивности аддитивного шума, поступающего на обработку вместе с полезным сигналом.

В реальных условиях период дискретизации , где коэффициент, показывающий, во сколько раз период дискретизации меньше величины, определяемой из условий выполнения теоремы Котельникова.

Очевидно, что чем ближе коэффициент к единице, чем менее высокие требования предъявляются к аналого-цифровым преобразователям (АЦП).

В дальнейшем в рассматриваемых задачах всегда будем полагать, что величина , что соответствует идеальному случаю.

Обычно полагают, что с выхода линейного тракта РПрУ поступает помеховая реализация в виде «белого» шума, характеристики которого определяются его интенсивностью или дисперсией (Вт или В²), где (В) – величина среднеквадра-тического отклонения.

Для выбора характеристик АЦП, которые определяют качество преобразования входного процесса из аналоговой формы в цифровую, необходимо иметь ряд данных.

Обычно полагают, что сетка уровней квантования равномерно перекрывает весь динамический диапазон РПрУ. При этом величину шага квантования по амплитуде (В) обычно нормируют относительно величины среднеквадра-тического отклонения «белого» шума на выходе линейного тракта РПрУ (В), т.е. полагают, что

(В), (1.3)

где – числовой коэффициент, показывающий, во сколько раз величина (В) больше, равна или меньше величины (В).

Очевидно, что число уровней квантования АЦП будет

, (1.4)

где (В) и (В) – максимальная и минимальная величины входного сигнала; – динамический диапазон входного сигнала в разах относительно величины младшего разряда АЦП.

Связь динамического диапазона входного сигнала (раз), определяемого выражением (1.4), с разрядностью преобразования определяется выражением

. (1.5)

Здесь знак в выражении (1.5) означает ближайшее большее целое число, т.е. не меньшее числа, находящегося внутри обратных квадратных скобок.

Связь динамического диапазона входного сигнала в разах с динамическим диапазоном входного сигнала в децибелах определяется выражением

(дБ). (1.6)

Число децибел динамического диапазона входного сигнала, приходящегося на один разряд [3]

. (1.7)

Обычно вместо выражения (1.7) пользуются при расчетах приближенным значением

. (1.8)

Тогда с учетом выражений (1.6) и (1.8) количество разрядов АЦП можно определить по выражению

разрядов. (1.9)

Число уровней квантования в применяемом АЦП, определяется выражением

. (1.10)

Мощность шума квантования, вносимого АЦП в преобразуемый входной сигнал, определяется величиной

(1.11)

где – плотность распределения амплитуды входного сигнала в пределах шага квантования АЦП, равного .

Решая выражение (1.11), получим

. (1.12)

Используя выражение (1.12) можно определить величину среднеквадратического отклонения в виде

. (1.13)

Если выбрать величину , т.е. в выражении (1.3) , то мощность шумов АЦП, добавляемых к шумам, присутствующим на выходе линейного тракта РПрУ, увеличит суммарную мощность на 8,33%.

В случае, когда , т.е. в выражении (1.3) , то суммарная мощность шумов возрастет на 2,1%.

Максимальная величина аналогового сигнала, которую может преобразовать в цифровой код рассчитанный АЦП, с учетом (1.10), определяется в соответствии с выражением

(В). (1.14)

Пример 1. Рассчитать, сколько разрядов АЦП потребуется для заданного динамического диапазона входного сигнала. Определить погрешности, вносимые АЦП в преобразуемый сигнал (величину дисперсии (В²) и величину среднеквадратического отклонения (В)). Определить величину (В) при условии, что мВ.

Количество разрядов в соответствии с выражением (1.9) будет

разрядов.

Определим величину дисперсии (Вт) в соответствии с выражением (1.12) при условии, что = = В

Величина среднеквадратического отклонения (В) определим в соответствии с выражением (1.13)

Максимальная величина входного сигнала (В) определим из выражения (1.14)

Таким образом, в результате расчетов получены значения:

; Вт; В; В.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.3. в [2].

В том случае, когда нет возможности учесть шум, сопровождающий сигнал, как, например, в системах автоматики, то в этом случае задаются точностью представления полезного сигнала, имеющего минимальную величину .

Например, пусть величина . Тогда, поскольку 1%=0,01<128=2^-7, то , а, следовательно, минимальный сигнал преобразуется в АЦП с заданной точностью при использовании разрядов.

Если динамический диапазон входного сигнала в этом случае равен , то потребуется еще

Следовательно, общее число разрядов АЦП будет равно

.