Программа для построения на одном графике теоретическую и эмпирическую плотности распределения вероятностей

[nj, xm]=hist (x, k);% число попаданий и середины интервалов

delta=xm(2) – xm(1);% ширина интервала

clear xfv fv xft ft% очистили массивы для f(x)

xfv=[xm-delta/2; xm+delta/2];% абсциссы для эмпирической f(x)

xfv=reshape (xfv, prod (size(xfv)), 1);% преобразовали в столбец

xfv=[xl; xfv(1); xfv; xfv(end); xr];% добавили крайние

fv=nj/(n*delta);% значения эмпирической f(x) в виде 1 строки

fv=[fv; fv];% 2 строки

fv=[0; 0; reshape (fv, prod (size(fv)), 1); 0; 0];% + крайние, 1 столбец

xft=linspace (xl, xr, 1000)';% абсциссы для теоретической f(x)

ft=[normpdf (xft, mx, sx), exppdf (xft, 1/lam),…

unifpdf (xft, a, b), raylpdf (xft, sig)];

col='bgmk';% цвета для построения графиков

figure

plot (xfv, fv, '-r', xft, ft(:, 1), col(1), xft, ft(:, 2), col(2),…

xft, ft(:, 3), col(3), xft, ft(:, 4), col(4)) % рисуем

set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…

'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)

title ('\bfПлотности распределения')

xlim([xl xr]), ylim([0 1.4*max(fv)])% границы рисунка по осям

xlabel ('\itx')% метка оси x

ylabel ('\itf\rm (\itx\rm)')% метка оси y

grid

Результаты этой программы показаны на рисунке 9.

Рисунок. 9 – График плотности распределения вероятности сигнала человека и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности

1.5 Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона

По критерию Пирсона сравниваются теоретическая и эмпирическая функции плотности распределения вероятности, а точнее – частота попадания случайной величины в интервал. Интервалы могут быть любыми, равными и неравными, но удобно использовать те интервалы, на которых построена гистограмма. Эмпирические числа попадания n (из гистограммы) сравнивается с теоретическим np_j, где p_j – вероятность попадания случайной величины X в j -ый интервал:

, (20)

a_j и b_j – границы j -го интервала. Карл Пирсон показал, что, если все np_j ³ 5, то суммарная квадратическая относительная разность между теоретическим и практическим числом попаданий в интервал равна

(21)

имеет приближенно c² распределение Пирсона с k – m степенями свободы, где m – число параметров, оцениваемых по выборке, плюс 1. Так как параметров два, то m = 3. Выражение (21) представляет собой статистику Пирсона.

Теоретическое распределение можно считать подобранным верно, если выполняется условие

. (22)

Построим таблицу результатов, в которую занесем: номера интервалов (1-й столбец), границы интервалов a_j и b_j (2-й и 3-й столбцы), вероятность попадания в интервал p_j (4-й столбец), теоретическое число попаданий и практическое число попаданий np_j (6-й столбец). Границы интервалов и практическое число попаданий взяты из гистограммы, теоретическая вероятность попадания в j-й интервал подсчитывается по выражению (20).

Листинг программы:

clear Tabl% очистили таблицу результатов

Tabl(:, 1)=[1:k]';% номера интервалов

Tabl(:, 2)=xm'-delta/2;% левые границы интервалов

Tabl(:, 3)=xm'+delta/2;% правые границы интервалов

Tabl (1,2)=-inf;% теоретическое начало 1-го интервала

Tabl (k, 3)=inf;% теоретический конец последнего интервала

Tabl(:, 4)=nj';% опытные числа попаданий

bor=[Tabl(:, 2); Tabl (end, 3)];% все границы интервалов

pro=cdf (tdistr{bdistr}, bor, param (bdistr, 1), param (bdistr, 2));

Tabl(:, 5)=pro (2:end) – pro (1:end-1);% вероятности попаданиz pj

Tabl(:, 6)=n*Tabl(:, 5);% теоретическое число попаданий npj

disp ('Сводная таблица результатов')

fprintf (' j aj bj')

fprintf (' nj pj npj\n')

fprintf (' % 2.0f % 12.5f % 12.5f % 6.0f % 12.5f % 12.5f\n', Tabl')

Если распределение подобрано, верно, то числа из 4-го и 6-го столбцов не должны сильно отличаться.

Вывод: Для сигнала человека числа из 4-го и 6-го столбцов значительно отличаются, значит, распределение подобрано неверно. А для фонового сигнала эти числа практически совпадают.

Проверим выполнение условия np_j ³ 5 и объединим те интервалы, в которых np_j < 5. Перестроим таблицу и добавим в нее еще один, 7-й столбец – слагаемое, вычисляемое по выражению (21).

Программа для перестроение таблицы и добавления в неё ещё 1 столбец.

qz=0.3;% выбрали уровень значимости

ResTabl=Tabl (1,1:6);% взяли первую строку

for k1=2:k, % берем остальные строки таблицы

if ResTabl (end, 6)<5, % предыдущее npj<5 – будем суммировать

ResTabl (end, 3)=Tabl (k1,3);% новая правая граница интервала

ResTabl (end, 4:6)=ResTabl (end, 4:6)+Tabl (k1,4:6);% суммируем

else% предыдущее npj>=5 – будем дописывать строку

ResTabl=[ResTabl; Tabl (k1,1:6)];% дописываем строку

end

if ResTabl (end, 6)<5, % последнее npj<5

ResTabl (end – 1,3)=ResTabl (end, 3);% новая правая граница

ResTabl (end – 1,4:6)=ResTabl (end – 1,4:6)+ResTabl (end, 4:6);

ResTabl=ResTabl (1:end-1,:);% отбросили последнюю строку

end

kn=size (ResTabl, 1);% число объединенных интервалов

ResTabl(:, 1)=[1:kn]';% новые номера интервалов

ResTabl(:, 7)=(ResTabl(:, 4) – ResTabl(:, 6)).^2./ResTabl(:, 6);

disp ('Сгруппированная сводная таблица результатов')

fprintf (' j aj bj')

fprintf (' nj pj npj ')

fprintf([' (nj-npj)^2/npj\n'])

fprintf (' % 2.0f % 12.5f % 12.5f % 6.0f % 12.5f % 12.5f % 12.5f\n', ResTabl')

hi2=sum (ResTabl(:, 7));% сумма элементов последнего столбца

fprintf(['Статистика Пирсона chi2=%10.5f\n'], hi2)

m=[3,2,3,2];% число ограничений

fprintf ('Задаем уровень значимости q=%5.4f\n', qz)

chi2qz=chi2inv (1-qz, kn-m(bdistr));% квантиль

fprintf(['Квантиль chi2-распределения Пирсона '…

'chi2 (1-q)=%10.5f\n'], chi2qz)

if hi2<=chi2qz,

disp ('Распределение подобрано верно, т. к. chi2<=chi2 (1-q)')

else

disp ('Распределение подобрано неверно, т. к. chi2>chi2 (1-q)')

end

Статистика Пирсона chi2= 4347.29975

Задаем уровень значимости q= 0.3000

Квантиль chi2-распределения Пирсона chi2 (1-q)= 170.93451

Распределение подобрано неверно, т. к. chi2>chi2 (1-q)

Вывод: По критерию Пирсона распределение подобрано неверно, т. к. реальное значение статистики χ²_р=4347.29975 намного превышает критическое значение χ²_т,f=170.93451, следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения амплитуд сигнала не подтверждается на уровне значимости 0.05.

Статистика Пирсона chi2= 325.28014

Задаем уровень значимости q=0.3000

Квантиль chi2-распределения Пирсона chi2 (1-q)= 194.58370

Распределение подобрано, верно, т. к. chi2<=chi2 (1-q)

Вывод: Для фонового сигнала по критерию Пирсона распределение подобрано неверно, т. к. реальное значение статистики χ²_р=325.28014 превышает критическое значение χ²_т,f=194.58370, следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения амплитуд сигнала не подтверждается на уровне значимости 0.05.

2 Корреляционный анализ сигналов

2.1 Постановка задачи исследования

Для этого принять сигнал за реализацию случайной функции, выбрать наиболее яркий фрагмент сигнала длительностью 2000 отсчетов и построить для него корреляционную функцию. Для сигналов человека и группы людей оценить квазипериодическую составляющую, а для сейсмического фона и техники – периодическую. Сделать выводы о внутренней структуре сигнала. Сделать выводы по этапу.

2.2 Теоретическая часть. Свойства корреляционной функции

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

Заметим, что в терминах "корреляция" и "ковариация" в настоящее время существует изрядная путаница. В иностранной литературе термин "ковариация" применяется к центрированным функциям, а "корреляция" – к произвольным. В отечественной литературе, и особенно в литературе по сигналам и их обработке, довольно часто применяется прямо противоположная терминология. Однако при переводах иностранной литературы терминология, как правило, не изменяется, и начинает все шире проникать в отечественную литературу. Принципиального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.

Свойством корреляционной функции является ее убывание с увеличением t, что вытекает из очевидного факта ослабления взаимной связи между случайными величинами л: (0) и x (t) по мере увеличения временного интервала At - t между ними. Если при этом корреляционная функция стремится к нулю, говорят, что характеризующийся ею стационарный случайный процесс обладает свойством эргодичности. Это удобно при практическом выполнении и обработке наблюдений. Изсвойств корреляционной функции / Сф (i) следует, что спектральная плотность мощности 5Ф (ал) является вещественной, четной и положительной функцией. Хотя многиесвойства корреляционных функций тесно связаны со свойствами корреляционных функций в классической теории, существуют некоторые свойства квантовых корреляционных функций, которые не имеют классической аналогии. Например, так как операторы нормально упорядочены, то последовательное применение операторов уничтожения справа или операторов рождения слева приведет к обращению корреляционной функции в нуль, если состояние содержит число фотонов меньшее, чем число операторов.

2.3 Программа и результат корреляционной функции

Для построения корреляционной функции двух сигналов, выберем фрагменты сигналов: