Многочастотное квантование и эквивалентность дискретных моделей

Согласно [6] многочастотное квантование - это квантование в дискретных системах, осуществляемое с разными периодами дискретизации.

В работе [6] установлены следующие утверждения:

1. Установлено взаимно-однозначное соответствие между полосой - плоскости преобразования Лапласа непрерывной передаточной функции и - плоскостью дискретной передаточной функции, которое возможно только при преобразовании , где - период дискретизации.

2. Применение согласованного - преобразования при фиксированных нулях и полюсах непрерывной передаточной функции в - плоскости при вариации периода дискретизации в определенных пределах, позволяет взаимо-однозначному множеству нулей и полюсов дискретной передаточной функции сохранить выборочные свойства непрерывного объекта. Именно эти свойства позволяют рассмотреть бинарное отношение «быть моделью» как эквивалентное отношение. В частности, это отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

3. Для реализации свойства транзитивности бинарного отношения «быть моделью» в [6] разработана процедура нахождения дискретной передаточной функции по измерениям входных и выходных переменных с периодом дискретизации .

4. Сформулированы дополнительные условия SP-идентифицируемости:

Если предположить, что кроме действительных нулей и полюсов непрерывной передаточной функции существуют комплексно-сопряженные, то мнимые части характеристических точек непрерывной передаточной функции должны удовлетворять соотношению: ,где - величина шага дискретизации.

Отсюда следует, что для динамических объектов, существует интервал значений периодов дискретизации , зависящий от динамических свойств объекта, такой, что для любых определяются дискретная передаточная функция и непрерывная передаточная функция объекта, а, следовательно, выполняется условие транзитивности. В этом случае дискретные модели объекта получили название эквивалентных моделей.

Пример. Рассмотрим апериодический объект с непрерывной передаточной функцией . На вход подается ступенчатый сигнал , период дискретизации . Определяем идентифицирующую матрицу:

Тогда . Следовательно, ; ; .

Изменим период дискретизации , тогда идентифицирующая матрица:

Следовательно, дискретная передаточная функция , ; ; .

Из приведенных расчетов следует, что для любых непрерывная передаточная функция будет одна и та же, а дискретная передаточная функция и дискретных моделей бесконечно много.

Также в работе [6] рассматривается многомерный динамический объект, который имеет входных воздействий и одну выходную переменную .

Влияние входного воздействия на изменение выходной переменной называется -ым динамическим каналом объекта . Предполагается, что квантование по времени динамических каналов можно осуществлять как отдельно, так и в совокупности. Далее рассмотрено построение линейной модели рассматриваемого объекта, при условии отсутствия погрешностей измерения.

Решение поставленной задачи предполагает выполнение следующих этапов алгоритма.

1. Для каждого отдельного канала при условии, что на других каналах каким-либо образом поддерживались постоянные уровни, осуществлялось ступенчатое возмущение с целью получения переходной характеристики канала.

2. С помощью цифровой техники осуществляется квантование по времени с периодом квантования . Квантование может быть различным по характеру. Например, если брать малым, то другие значения периодов дискретизации можно брать с помощью операции децимации.

3. Для каждого имеются переходные характеристики , где К полученным измерениям применяется модифицированный алгоритм В. Висковатова. Находим по идентифицирующей матрице дискретную передаточную функцию . По этой функции восстанавливаем и для этих передаточных функций находим их нули и полюса. Изменяем и повторяем предыдущие операции, определяем и и их характеристические точки.

4. Для -ного канала находим общую неизменную часть , имеющие одинаковые нули и полюса непрерывной передаточной функции, а также оцениваем интервал значений периодов дискретизации .

5. Определяем общий интервал значений периодов дискретизации для всех каналов динамического объекта, на котором выполняется эквивалентность дискретных моделей: .

Если , то задача решений не имеет. В противном случае, выбираем требуемое значение периода (возможен вариант выбора таких периодов квантования в виде некоторой совокупности).

6. Зная для каждого -ного динамического канала и период , с помощью модифицированного метода В. Висковатова, находим дискретную передаточную функцию .

7. Далее формируем характеристический многочлен многомерного объекта путем умножения и числителя и знаменателя дискретной передаточной функции на недостающие члены , где находится из соотношения .

Пример. Пусть дан объект

Рис. 3 Объект управления

Первый канал объекта имеет передаточную функцию . Для первого канала период дискретизации и . Для второго канала , . Требуется построить дискретную модель и определить реакцию этого объекта на определенный вид входных сигналов.

Для первого канала:

a)

b)

Анализ результатов идентификации приводит к выводу, что если период квантования , то бесконечное множество дискретных моделей эквивалентно динамическому объекту с непрерывной передаточной функцией при входном ступенчатом воздействии .

Второй канал объекта идентифицируется при периодах квантования и :

a) для идентифицирующая матрица имеет вид:

.

b) Для :

Дискретная передаточная функция:

,

которая имеет отрицательный нуль и нуль , два полюса: и и, соответственно, в -плоскости для данного объекта нулей нет, а полюса принимают значения , . Дискретная модель в форме разностного уравнения восстанавливает значения выходной переменной с относительной погрешностью .

Для построения двумерной дискретной модели рассматриваемого объекта, сначала требуется выбрать синхронизированный период дискретизации из .

Для первого канала из согласованного -преобразования находим искомый для , находим из условия постоянства полюса для динамического объекта, т.е. так как , то . В нашем случае , , , тогда . Тогда из условия, что коэффициент передачи первого канала , окончательно получаем ,

,

а для второго канала передаточная функция:

.

Если нет, то необходимо перейти к непрерывной передаточной функции, после чего найти переходную характеристику, а затем, с помощью алгоритма В. Висковатова, получить искомую дискретную передаточную функцию.

Тогда после операции синхронизации, осуществимой из свойства транзитивности условия эквивалентности дискретных моделей, получим общую модель объекта , где , а .

Тогда:

Положим

, а

В этом случае дискретная математическая модель примет вид:

Время
	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
		0,243	0,368	0,432	1,264	1,977	2,297	2,423
		0,243	0,368	0,433	1,266	1,977	2,292	2,415

Таблица 1. Результаты расчетов

Как видно из приведенных результатов в Таблице 1, максимальная относительная погрешность, определяемая из соотношения

не превосходит , что связано с погрешностями округлений и расчетов.

Таким образом, в работе [6], предложен алгоритм использования бинарного отношения «быть моделью» и механизм реализации свойства транзитивности множества дискретных моделей при вариации периода квантования по времени. Именно эти и другие свойства позволили ввести понятие эквивалентности дискретных моделей. В частности неиспользование эквивалентности не позволяет в полной мере применять на практике многочастотное квантование в дискретных системах как один из подходов построения высокоэффективных систем.