Определение 2.1

Система (2.1) называется квадратично устойчивой, если существует фиксированная матрица

, такая, что для всех допустимых неопределенностей.

Следует отметить, что благодаря наличию изменяющейся во времени неопределенности, H₂ норма системы больше не может быть определена как в (2.3). Однако остаётся возможным определение через импульсную характеристику или стохастичность [8].

Действительно, пусть и такие,

, (2.14)

, (2.15)

где и удовлетворяют матричным неравенствам:

, (2.16)

, (2.17)

для любой допустимой неопределенности. Затем для H₂ нормы система может быть определена как .

Предположим, что система квадратично устойчива. Следующий результат дает верхнюю границу H₂ нормы.

Лемма 2.2 Рассмотрим неопределенную систему (2.10) и (2.11), которые считаются квадратично устойчивы. Верхняя граница H₂ нормы системы может задаваться следующей оптимизацией:

а) trace при условии матричных неравенств

, (2.18)

, (2.19)

где diag и diag являются масштабированием матрицы.

б) trace при условии матричных неравенств

, (2.20)

, (2.21)

где и такие, как определено в (а)

Доказательство (а) Во-первых, путем применения дополнения Schur, (2.15) эквивалентно

(2.22)

где

В результате [13], (2.22) имеет место, что для всех удовлетворяется неравенство если

для некоторой диагонали Таким образом, (2.18) следует из приведенного выше неравенства с помощью дополнения Scur.

Аналогичным образом можно показать, что (2, 17) эквивалентно LMI (2.19) для некоторых

(б) Доказательство части (б) аналогично части (а).