В целом Фреге построил логическую систему, являвшуюся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора

Другую мощную группу результатов получил Бертран Рассел (1872—1970). Об этом уже немного говорили в курсе ПЗвИС.

Рассел отказался от понятия смысла и принял существование только значений. Но, отказавшись от понятия смысла, Рассел столкнулся с проблемой значения терминов, обозначающих несуществующие объекты: если А — некоторое имя, то, если оно не бессмысленно, объект должен существовать. Но если объекта нет? Он предположил, что имена — не обозначение реальности, а только сокращенные дескрипции. Пример: «Гомер — автор Илиады и Одиссеи». Но перед ним возник вопрос: будут ли имя и дескрипция полностью взаимозаменяемы?

Чтобы решить проблему значения несуществующих объектов, Рассел предположил, что имя несуществующего объекта и предложения о нем не бессмысленны, они ложны.

Пример: Рассмотрим предложения

«Нынешний король Франции лыс» — оно ложно;

«Нынешний король Франции не лыс» — оно тоже ложно.

Но два противоположных утверждения об одном и том же не могут быть ложными одновременно. Поэтому Рассел считает, что любое утверждение всегда содержит предположение о существовании. Например «Существует Х такой что Х — нынешний король Франции и Х — лыс». Тогда значение «ложь» следует приписать первой части данного предложения: Существует Х.

Б. Расселу принадлежит выделение трех видов бессмыслицы:

Бессмысленные слова в осмысленных сочетаниях

Пример: Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка.

— автор фразы Л. Щерба

Осмысленные слова в бессмысленных сочетаниях

Пример: «жареный лед», «Луна умножает четырехугольно»

Бессмысленные слова в бессмысленных сочетаниях

Пример: Дыр бул щил убещур

Он же сформулировал парадокс Рассела.

Парадокс Рассела был открыт в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрыт Э. Цермело. Это теоретико-множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора.

Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.