Динамические свойства машин (приборов)

Работу любой машины (прибора) можно описать следующими дифференциальными уравнениями:

s_tW_p= M_кр0+ hW+ J_пр dW/dt, (5-10)

W₁- W= J_пр W_p ds_t/dt, (5-11)

где s_t - напряжение (касательное или нормальное) в сечении выходного вала (штока, штанги); W - скорость движения исполнительного органа; W₁ - скорость движения на входе в машину; J_пр - инерционная характеристика на выходном вале (приведенные момент инерции или масса); J_пр - приведенный коэффициент упругости магистралей машины; h - приведенный коэффициент потерь на трение, пропорциональное скорости движения; W_p - геометрическая характеристика рассматриваемого сечения силовой магистрали, обычно примыкающего к исполнительному органу.

Структурная схема передачи мощности аналогична рис.3.5.

Уравнения (5-10), (5-11) справедливы как для крутильных, продольных, так и для поперечных колебаний. Однако коэффициенты в таком случае будут разными.

Так, для продольных колебаний в механизме с цилиндрической штангой диаметром d, длиной l следует принимать:

W_p= f= pd²/4- площадь сечения штанги; M_кр0= F₀ - продольная сила; W= u, W₁ = u₁ - скорости продольного перемещения; J= m_пр - приведенная масса перемещающихся частей; J_пр= l/(fE); E- модуль упругости;

для крутильных колебаний в механизме с цилиндрическим валом диаметром d, длиной l -

W_p= pd³/16- полярный момент сопротивления сечения вала; M_кр0- крутящий момент; W, W₁ - угловые скорости вращения; J_пр - приведенный момент инерции вращающихся частей; J_пр= 32l/(Gpd⁴); G - модуль сдвига;

для изгибных (поперечных) колебаний механизма с цилиндрической балкой диаметром d длиной l расчет коэффициента упругости достаточно сложен и его для простых случаев можно определять с помощью выражения J_пр= y_ст /(mg), где y_ст - прогиб от статической нагрузки, определяемый известными методами сопромата; m_пр - масса груза.

(Примеры определения коэффициентов упругости для сложных случаев приведены в разделах 3.5…3.8).

Совместное решение системы уравнений (5-10), (5-11) приводит к уравнению

W(t) (1+ hJ_прp+ J_пр J_прp²)= W₁(t) - M_p0(t) J_прp, (5-12)

где рº d/dt - оператор дифференцирования.

Это уравнение может быть переписано в комплексной форме с помощью преобразований по Лапласу (см. раздел 3.5)

W(s)(1+ hJ_прs+ JJ_прs²)= W₁(s) - M_p0(s)J_прs, (5-13)

где s - оператор Лапласа; W(s), W₁(s), M_p0(s) - изображения по Лапласу функций W(t), W₁(t), M_p0(t).

Такое преобразование дает возможность получить передаточные функции влияния скорости движения ведущего вала и колебаний силы на скорость движения исполнительного органа

W_WW(s)= W(s)/ W₁(s)= 1/(1+ hJ_прs+ J_пр J_прs²), (5-14)

W_MW(s)= W(s)/ M_p0(s)= -J_прs /(1+ hJ_прs+ J_пр J_прs²). (5-15)

Преобразование по Лапласу позволяет подстановкой в (5-14), (5-15) s= jw, где w - круговая частота колебаний, рассчитать и построить частотные характеристики машины, иллюстрирующие влияние

колебаний скорости движения W₁ входного участка вала на

колебания скорости движения выходного звена W

W_WW(jw)= 1/[1+ hJ_пр jw+ J_прJ_пр(jw)²], (5-16)

колебаний силы сопротивления M_p0 на колебания скорости

движения выходного звена W

W_MW(jw)= -J_пр jw /[1+ hJ_пр jw+ J_пр J_пр(jw)²]. (5-17)

После приведения подобных членов получим выражения для

определения модуля частотных характеристик

А_WW= [(1- JJ_прw²)²+ (hJ_пр w)²]^-1/2; (5-18)

А _MW= J_пр w [(1- J_пр J_прw²)²+ (hJ_пр w)²]^-1/2. (5-19)

Из (5-17), (5-19), пользуясь свойствами преобразований по Лапласу, можно определить амплитуду колебаний перемещения выходного звена под действием колебаний нагрузки

Y _M= J_пр M_po [(1- J_пр J_прw²)²+ (hJ_пр w)²]^-1/2. (5-20)

Из этих выражений видно, что при некоторых частотах модуль частотной характеристики, а значит и амплитуда колебаний, могут сильно возрастать. Такая частота называется резонансной или собственной для данного механизма

w _рез = 1/(J_пр J_пр)^1/2 . (5-21)

При этой частоте амплитуда колебаний перемещения равна

Y _M= (J_пр J_пр)^1/2 M_po h^-1. (5-22)

Из (5-22) видно, что при h=0, т.е. в случае отсутствия потерь на трение, Y _M® ¥. Поэтому работа в резонансном режиме обычно приводит к разрушению. Увеличение коэффициента упругости, например, введением эластичных материалов или пружин, уменьшает резонансную частоту. При этом, если рабочая частота не находится в зоне резонанса, амплитуда колебаний тоже снизится.

Выше приведенные выражения применены для машин или приборов, где силовую часть можно считать системой с сосредоточенными параметрами. В действительности все механические системы более точно описываются, как системы с распределенными по длине параметрами [6]. В таком случае приведенные выражения позволяют оценить поведение системы при частотах, близких 1-й резонансной или 1-й собственной частоты. Последующие резонансные всплески несут меньше энергии и поэтому часто менее опасны для механизма.

Динамические свойства машин характеризуются также сдвигом по фазе j. Этот параметр описывает отставание выходного сигнала от входного. Его значение, например для передаточной функции (5-17), можно определить с помощью выражения

j= arctg(J_пр w)- arctg[J_пр hw/(1- J_пр J_пр w²)]. (5-23)

Запишем также выражения для определения резонансных частот в разных механических системах:

крутильные колебания

w _рез = (J_пр J_пр) ^-1/2, (5-24)

гдедля диска J_пр = mR²/2);

продольных колебаний

w _рез = (J_пр m_пр) ^-1/2, (5-25)

поперечных колебаний

w _рез = (J_пр m_пр) ^-1/2. (5-26)

Date: 2015-11-13; view: 342; Нарушение авторских прав