Деякі застосування подвійних інтегралів

І. Маса області. В попередніх параграфах було показано, що маса неоднорідної області , в кожній площі якої визначена густина розподілу маси , знаходяться за формулою

. (1)

Якщо ж задана на всій площині і є щільністю розподілу ймовірностей, то за формулою (1) обчислюється ймовірність попадання випадкової точки в область .

ІІ. Обчислення площ плоских областей. Покладемо в (1) , тоді маса чисельно дорівнює площі області . Отже

(2)

формула площі області в прямокутних координатах, а в полярних координатах

. (3)

ІІІ. Обчислення об’єму тіла за допомогою подвійного інтеграла. Тіло, яке обмежене зверху поверхнею , знизу – областю площини , а збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої проходять через границю області паралельно осі і перетинають поверхню , називається вертик альним циліндричним тілом (див. рис. 1)

Об’єм вертикального циліндричного тіла знаходиться за формулою

. (4)

Задача. Обчислити об’єм тіла, обмеженого двома поверхнями і .

Рис 1.

Розв’язання. Перша з поверхонь – параболоїд обертання навколо осі з вершиною в точці , напрямлений вниз, друга поверхня – конус обертання навколо з вершиною в точці , напрямлений – вверх.

Їх лінії перетину знаходимо із системи:

- не підходить. Якщо , то, наприклад, друге рівняння запишеться

.

Отже обидві поверхні перетинаються по колу , яке знаходиться на площині , перпендикулярній (див. рис. 2).

Рис. 2.

Шуканий об’єм тіла дорівнює різниці об’ємів двох циліндричних тіл і . Основа обох циліндрів – круг радіуса з центром в на площині . Перше циліндричне тіло обмежене зверху параболоїдом, друге – конусом. Отже,

.

Далі обчислимо в полярних координатах:

.

IV. Обчислення статичних моментів, координат центра мас та моментів інерції областей. Статичні моменти і знаходяться за формулами

, . (5)

Зауважимо, що за подібними формулами з теорії імовірностей знаходяться так звані математичні сподівання двовимірних випадкових величин.

Координати центра маси плоскої області знаходяться за такими формулами

, , (6)

де - маса області.

Моменти інерції і відносно координатних осей і і момент інерції відносно початку координат знаходяться відповідно за формулами

, , (7)

. (8)

Задачі

Знайти площі плоских областей, обмежених даними лініями

1. .

2. . 3. .

4. 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. .

11. .