Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Поняття подвійного інтеграла
|
|
Подвійні інтеграли
В теорії ймовірностей зустрічається таке поняття, як щільність розподілу ймовірностей. В окремих випадках ймовірність обчислюють за допомогою подвійних інтегралів. Фізичним аналогом щільності розподілу ймовірностей може бути густина розподілу маси. Користуючись останнім, як більш відомим, розглянемо задачу, яка приводить до поняття подвійного інтеграла.
 |
Припустимо, що на площині XOY розміщена неоднорідна платівка, товщиною якої нехтуємо. Геометрично - це деяка обмежена замкнена область D, в кожній точці якої відоме значення густини розподілу маси f(x,y ). Модель такої неоднорідної платівки можна уявити собі так. Кусок поролону довільної форми злегка просочили клеєм і спресували. Після висихання клею отримуємо платівку (область D), неоднорідну, бо на кожну одиницю площі спресувалась різна величина маси. Виділимо в цій області D прямокутний окіл (елемент), який містить точку M(x,y ). Нехай площа цього елементарного прямокутника буде
, а маса 
(див. рис.1),
тоді 
- середня густина розподілу маси. Позначимо через 
- діагональ прямокутника. Припустимо, що 
так, що прямокутник при цьому стягується у точку M(x,y ), а 
, тоді границя відношення залежить від координат точки M(x,y ), тобто
.Функція f(x,y ) є густиною розподілу маси в даній області D.
Тепер сформулюємо задачу.
Задача. Знайти масу області D, в кожній точці якої відома функція f(x,y) – густина розподілу маси.
 |
Для розв’язання задачі проведемо сім’ю прямих перпендикулярних осі OX, відстань між якими
, і сім’ю прямих перпендикулярних осі OY, відстань між якими 
. При цьому область D покриється множиною однакових прямокутників (див. рис.2).
Рис.2.
Виділимо один із них, що містить точку 
. Припускаємо, що i=1,2,…,n. – це номери кожного з n прямокутників, що покривають область D. Правда, деякі з прямокутників покривають область тільки частково.
Знайдемо густину в точці 
, її значення 
. Площа і –того прямокутника 
. Тоді маса і –того прямокутника, якому належить точка наближено дорівнює
.
Ми вважаємо, що і –тий прямокутник має настільки малі розміри і , що функція f(x,y ) в межах цього прямокутника змінюється мало і наближено прямокутник вважається однорідним. Нехай 
- діагональ прямокутника. Нехай, далі, 
так, що елементарний прямокутник стягується в точку, а кількість прямокутників прямує до 
.
Тоді маса області D
– інтегральна сума.
Перейдемо до границі цієї інтегральної суми при . Якщо існує границя інтегральної суми
,
то вона називається подвійним інтегралом. Фізично ця границя співпадає з величиною маси області D.
В більш загальному випадку, якщо подвійний інтеграл існує, то це означає, що існує границя інтегральної суми, яка не залежить ні від способу розбиття області D на елементи, ні від вибору точок .
Date: 2015-12-10; view: 399; Нарушение авторских прав