Обчислення подвійних інтегралів в прямокутних координатах

Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних координатах по заданій області зводиться до обчислення так званих повторних інтегралів шляхом проектування області на одну із осей або .

Область на площині називається простою відносно осі , тобто проектується в деякий відрізок осі так, що всяка пряма паралельна осі , перетинає границю області у двох точках. (див. рис. 4).

Рис. 4.

Перехід до повторного інтеграла пояснимо на задачі обчислення маси неоднорідної області.

Нехай область обмежена двома лініями і , які перетинаються в точках і . Відрізок є проекцією області на вісь . У кожній точці області визначена функція - густина розподілу маси. Знайти масу області .

Зафіксуємо точку , яка належить прямокутнику із настільки малими сторонами і , що значення густини в точці мало змінюється в межах цього прямокутника, тому маса цього прямокутника приблизно дорівнює

.

Далі, розглянемо паралельну осі смужку шириною , яка містить згаданий прямокутник. Маса смужки буде дорівнювати

.

Щоб знайти масу всієї області , необхідно проінтегрувати останній вираз по змінній , тоді

. (1)

Порядок інтегрування можна змінити, якщо область спроектувати на вісь (див. рис. 5), при цьому вважаємо, що область правидьна відносно осі . Нехай відрізок буде проекцією області на , область обмежена кривими і , які задаються відповідно рівняннями і .

Рис. 5.

Аналогічно попереднього випадку,

.

- маса елемента площею . Масу смужки паралельної осі , отримаємо інтегруванням по змінній :

.

Інтегруючи останній вираз по , отримаємо масу всієї області , тобто

. (2)

Перехід від повторного інтеграла, що в правій частині (1), до повторного інтеграла в (2) називається зміною порядка інтегрування. На практиці з двох порядків (двох формул (1) чи (2)) вибирають такий, який вимагає менших обчислень.

Приклади. Знайти інтеграли

1. .