Запись решения с помощью обратной матрицы

Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы n n. В этом случае матрица А является квадратной матрицей размера n n. Допустим, что эта матрица невырожденная, т.е. что её определитель не равен 0. Тогда для неё существует обратная матрица А^-1.

Используя эту матрицу, можно решить уравнение (2): умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу А^-1, получаем

А^-1(А х) = А^-1В

или, согласно сочетательному закону умножения матриц,

(А^-1А) х = А^-1В.

Но А^-1А = Е, а Е х = х. Уравнение принимает вид

х = А^-1В.

Эта формула даёт матричную запись решения.

Замечание. Не следует думать, что эта формула сильно упрощает задачу решения системы размера n n с невырожденной матрицей А. Ведь для того чтобы использовать эту формулу. Нужно сначала найти матрицу А^-1, а это само по себе есть достаточно трудная задача. Поэтому формула имеет скорее теоретическое значение. Наиболее удобным способом остаётся метод Гаусса.

Пример. Решить систему уравнений

х₁ + 3х₃ = 1

5х₁ + 3х₂ + 7х₃ = 1

3х₁ + 2х₂ + 5х₃ = 1.

А =

Вычислим матрицу А^-1:

А^-1 =

Теперь находим столбец х:

Итак, решение системы: х ₁ = -