Задания для самостоятельного решения. 1. Исследовать совместность следующих систем

1. Исследовать совместность следующих систем.

а) б)

в) г)

д) е)

2. Решить системы уравнений матричным методом:

а) б)

в) г)

д) е)

3. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

а) б)

в) г)

д) е)

4. Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

5. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:

а) б)

в) г)

д) е)

Ответы. 1. а) система несовместна; б) система совместна;

в) система совместна; г) система несовместна; д) система совместна; е) система совместна. 2. а) ; б) (-3;2;1); в) (3;0;1); г) (3;-2;-5); д) (8;4;2); е) (-8;-4;-13). 3. а) (16;7); б) (2;-1;1); в) (1;3;5); г) (3;1;-1);

д) (-3;2;1); е) (-1;1;-2). 4. а) (-1;3;2); б) (2;3;1); в) (2;1;3); г) (3;2;1); д) (); е) (). 5. а) (); б) (0;0;0); в) (0;0;0); г) ; д) ;

е) .

Индивидуальное домашнее задание по теме «Элементы линейной алгебры»

Задание. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) матричным методом; 3) по формулам Крамера.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Векторы. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Например, площадь, длина, работа, масса. Величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными. Например, сила, ускорение.

Определение. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обозначается символом или .

Определение. Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору обозначается .

Определение. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается .

Определение. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом (орт) вектора и обозначается .

Определение. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначается коллинеарность . Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены () и противоположно направлены ().

кроме того , , .

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.