Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Однородные системы уравненийРассмотрим однородную систему линейных уравнений (1.26) Однородная система всегда совместна (), она имеет нулевое (тривиальное) решение . Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r<n. Если число уравнений m системы совпадают с числом неизвестных n, то есть m=n, основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие r<n означает, что определитель основной матрицы системы
Пример 39. Решить систему уравнений Решение. Составим основную матрицу системы . Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки. ~ . Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы А, а значит и расширенной матрицы равен 2, то есть Число неизвестных в системе уравнений равно 3, r<n, поэтому данная система имеет ненулевые решения. Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся преобразованной матрицей Из второго уравнения выразим через , при этом будет является свободной переменной: . Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение и выразим через : Пусть , тогда общее решение системы можно записать в виде матрицы-столбца (1.27) Пример 40. Решить систему уравнений Решение. Выпишем основную матрицу системы . Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки ~ . Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки ~ . Элементы второй строки умножим на (-2), третьей строки – на 11 и полученные строки сложим ~ . Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы А равен 3, число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, то есть , значит данная система уравнений имеет единственное решение – нулевое, то есть . Пример 41. Решить систему уравнений Решение. Выпишем основную матрицу системы и найдем ранг этой матрицы. Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к третьей строке: ~ . Элементы третьей строки умножим на , а четвертой – на : ~ . Элементы второй строки прибавим к элементам третьей и четвертой строк ~ . В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы А равен двум, то есть , а число неизвестных в системе уравнений равно 4 (n=4). Получили, что r<n, поэтому данная система уравнений имеет ненулевые решения. Укороченная система имеет вид: Выразим и через и : или Неизвестные и - базисные, а и - свободные. Полагая , получим общее решение сиситемы, записанное в виде матрицы-столбца (1.27) (1.28) Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обозначают . Общее решение будет представлено в виде (1.29) В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и выразим с ее помощью общее решение этой системы. Из общего решения (1.28) системы найдем : , . (1.30) С использованием фундаментальной системы (1.30) общее решение (1.28) может быть записано в виде (1.29)
|