Пример 3. Механическая система (рис

Механическая система (рис. 3.4) состоит из груза 1 массой ; блока 2 (сплошного однородного диска) массой и радиусом ; тонкого однородного стержня 3 массой и длиной ; сплошного однородного диска 4 массой и радиусом . Система начинает двигаться из положения покоя (при статической деформации пружины с коэффициентом жесткости ) с начальным отклонением груза 1 по вертикали от положения покоя и проекцией его начальной скорости .

Дано: кг, кг, кг, кг, м, Н/см, см, см/с.

Определить: циклическую частоту и период малых свободных колебаний системы, получить уравнение движения груза 1 и найти амплитуду его колебаний.

Решение:

1) Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания (рис. 3.4). Механическая система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем координату перемещения груза 1. Поскольку все действующие активные силы (силы тяжести и сила упругости) потенциальные, воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консервативной системы:

, (3.1)

где и – кинетическая и потенциальная энергии системы, соответственно.

При исследовании малых колебаний в уравнении сохраняют малые величины , в первой степени, отбрасывая малые более высокого порядка. Для этого надо найти выражения для и с точностью до , , так как в уравнение (3.1) входят первые производные от и по и , а при дифференцировании многочлена его степень понижается на единицу.

2) Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

. (3.2)

Груз 1 движется поступательно, блок 2 истержень 3 вращаются вокруг неподвижной оси, диск 4 совершает плоскопараллельное движение, поэтому

, , ,

. (3.3)

Моменты инерции блока 2 и стержня 3 относительно оси вращения и диска 4 относительно центральной оси имеют вид:

, , . (3.4)

Скорости , и угловые скорости , и тел системы выразим через обобщенную скорость :

, , . (3.5)

Скорость и угловую скорость найдем, учитывая, что рассматриваются малые колебания (значит ) и диск 4 катится без скольжения (точка – мгновенный центр скоростей тела 4):

. (3.6)

Учитывая соотношения (3.3) – (3.6) приведем выражение (3.2) к виду:

. (3.7)

Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (1) примут вид:

;

; (3.8)

.

3) Найдем потенциальную энергию системы (см. рис. 3.5) как сумму работ сил тяжести тел системы и силы упругости пружины на перемещении из отклоненного положения системы (когда груз 1 имеет координату ) в начальное (состояние покоя):

, (3.9)

где и – потенциальные энергии, соответствующие силам тяжести тел системы и силе упругости пружины на перемещении.

, (3.10)

где – вертикальное смещение центра тяжести стержня.

Вычислим его с точностью до величины второго порядка малости относительно обобщенной координаты (см. рис. 3.5):

. (3.11)

Учитывая малость угла , разложим в ряд Тейлора:

(3.12)

Ограничиваясь в разложении (3.12) двумя первыми членами и учитывая, что

,

получаем из (3.11):

. (3.13)

Подставив (3.13) в (3.10) находим:

. (3.14)

Потенциальная энергия деформированной пружины 3 равна

, (3.15)

где – статическая деформация пружины 3, соответствующая начальному отклонению груза 1 по вертикали от положения покоя; – перемещение точки прикрепления пружины 3, соответствующее координате груза 1.

Из рис. 3.4 определяем

,

откуда

. (3.16)

Таким образом, потенциальная энергия пружины 3

, (3.17)

а потенциальная энергия механической системы

(3.18)

Учитывая, что в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины 3

, , (3.19)

приводим (3.18) к виду:

(3.20)

Уравнение 3.19 можно также получить, составив одно из условий равновесия системы сил для положения покоя (см. рис. 3.6):

:

или

.

Отсюда .

Выполним операцию дифференцирования потенциальной энергии системы, предусмотренную правой частью уравнения (3.1):

, (3.21)

Подставим (3.8) и (3.21) в (3.1):

(3.22)

или, обозначив

, (3.23)

приведем (3.22) к виду:

. (3.24)

Уравнение (3.24) является уравнением свободных колебаний с частотой . Подставив в (3.23) численные значения, находим:

с^–1. (3.25)

Период свободных колебаний

с. (3.26)

Интегрируя уравнение (3.24), находим уравнение движения груза 1:

. (3.27)

Для определения констант интегрирования и составим уравнение скорости груза 1:

(3.28)

и воспользуемся начальными условиями:

при , . (3.29)

Из уравнений (3.27) – (3.29) находим:

, .

И окончательно:

м. (3.30)

Уравнение (3.30) можно представить в эквивалентной форме, если использовать другие константы интегрирования и :

, .

Тогда

,

м, (3.31)

рад.

Таким образом

м.

Ответ: с^–1, с, м, м.