Задание 3. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы

Схемы систем показаны на рис. 3.1 – 3.3, а необходимые данные приведены в табл. 6. Приняты следующие обозначения: 1 – груз массой ; 2 – блок массой и радиусом (сплошной однородный диск); 3 – блок массой и радиусом инерции ; 4 – сплошной однородный диск массой и радиусом ; 5 – диск массой и радиусом инерции ; 6 – тонкий однородный стержень массой и длиной ; 7 – стержень, масса которого не учитывается; – коэффициент жесткости пружины; – начальное отклонение груза 1 по вертикали от положения покоя, соответствующего статической деформации пружины; – проекция начальной скорости груза 1 на вертикальную ось.

На рис. 3.1 – 3.3 системы тел 1 – 7 показаны в положении покоя (при статической деформации пружин).

В вариантах 5, 6, 14 и 23 стержень 6 жестко соединен с диском 4.

Определить частоту и период малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, пренебрегая силами сопротивления и массами нитей.

Найти уравнение движения груза 1 , приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин). Найти амплитуду колебаний груза 1.

Указания. Это задача на применение к изучению движения механической системы уравнений Лагранжа II рода для консервативной системы сил. В задаче механическая система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение движения.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Таблица 5. Расчетные данные к заданию 3

№							, ,			Начальные условия ()
м	кг	Н/см	, см	, см/с
	0,5	–	–	–			–			0,1
	0,5	–	–	0,2
	0,5		–	–		–				0,2
	0,6	–	–	–						0,2
	0,6	–	–	0,15		–
	0,6	–	–	0,15		–				0,3
	–	–	–	–		–				0,4
	–	–	–	–				–
	0,6	–	–	–			–			0,5
	0,6	–	–	–			–
	–	–	–	–			–			0,4
	0,5	–	–	–			–			0,2
	0,3	–	–	–
	0,4	–	–	0,1		–
	0,4		–	–		–				0,1
	–	–	–	–				–		0,3
	–	–	–	–			–
	–	–	–	–				–
	0,2	–	–	–			–			0,1
	0,5	–	–	–			–			0,4
	–	–	–	–		–
	–			–				–		0,1
Таблица 5 (окончание)
	0,4	–	–	0,2						0,3
	–	–		–		–
	0,3	–	–	0,1						0,2
	–		–	–		–		–		0,3
	–	–		–				–
	–	–		–				–		0,2
	–	–		–				–
	–	–		–				–		0,3

В качестве обобщенной координаты выбирается координата , характеризующая перемещение груза 1. Для составления уравнения Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию системы и выразить все входящие в нее скорости через обобщенную скорость . Затем надо вычислить потенциальную энергию системы как сумму работ сил системы на перемещении из отклоненного положения системы в начальное. Дальнейший ход решения задачи разъяснен в примере 3.