Однородная система линейных уравнений

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех её уравнениях равны нулю (3.8).

(3.8)

Однородная система всегда совместна. Решение называется нулевым или тривиальным решением системы.

Теорема. Для того чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

Доказательство. а) Пусть определитель матрицы системы равен нулю , но один из её миноров отличен от нуля. Предположим, что этот минор расположен в первых строках (этого всегда можно добиться, переставляя строки). Тогда вычисляем алгебраические дополнения последней строки определителя , и при любом значении числа система имеет решение .

б) Пусть определитель и все его миноры равны нулю. В этом случае все уравнения системы пропорциональны, и система сводится к одному уравнению . Задавая произвольно значения неизвестных, из этого уравнения можно найти оставшееся неизвестное, и все эти значения будут удовлетворять всей системе.

Пример 3.8. Решить систему линейных уравнений

Решение. Найдем определитель матрицы системы уравнений.

.

Вычислим миноры матрицы системы уравнений

,

тогда система имеет решения .

Ответ: .