Метод Жордана-Гаусса

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

(3.6)

Подвергая систему линейных алгебраических уравнений элементарным преобразованиям, можно любую неизвестную исключить из всех уравнений, кроме какого-нибудь одного уравнения.

Пусть в системе (3.6) коэффициент и необходимо исключить неизвестную из всех уравнений, кроме -го. Будем называть элемент разрешающим коэффициентом, - разрешающей неизвестной, -е уравнение - разрешающим уравнением. Умножим -е уравнение на число и прибавим к -му уравнению.

Получим уравнение

Выберем число так, чтобы коэффициент при в -м уравнении был равен нулю, то есть

Подставляя значение в последнее уравнение, исключим переменную из -го уравнения, остальные коэффициенты будут равны (новые значения коэффициентов обозначаются со штрихами)

, , …, (3.7)

Формулы (3.7) называются формулами исключения. Запись новых значений коэффициентов в виде позволяет сформулировать формулы исключения в виде правила прямоугольника: новое значение коэффициента равно дроби, знаменатель которой равен , а числитель - разности произведений элементов, стоящих в противоположных вершинах прямоугольника, построенного по строкам и столбцам на элементах и _j, причем вычитается произведение элементов не содержащее разрешающего элемента.

a_ij... a_is

..

a_rj …

Метод Жордана-Гаусса при решении систем линейных алгебраических уравнений применяет формулы исключения и элементарные преобразования.

Так как в процессе преобразований системы изменяются только коэффициенты и правые части уравнений, то можно процедуру исключения проводить по таблицам (расширенной матрице системы).