Организация производства готовой продукции

Содержательная постановка задачи. На производственное предприятие периодически в течение года согласно графику поступают заказы на производство продукции в соответствии со спросом. Если предприятие не может выполнить эти заказы, оно терпит убытки от недополученной прибыли. С другой стороны, если производственные возможности предприятия больше требуемых, оно также терпит убытки из-за излишнего количества запасов на складе готовой продукции. Если известны зависимости затрат (убытков) от неудовлетворения спроса и от переизбытка запасов, то можно установить оптимальную политику выпуска готовой продукции, при которой суммарные издержки по производству и запасам будут минимальными.

Математическая постановка задачи. Обозначим через спрос, а через - необходимую производительность предприятия в k -м периоде, , где m – число заказов, поступающих в течение года (периоды). При этом - некоторый фиксированный начальный уровень производства. Для своевременного выполнения заказов требуется, чтобы спрос всегда удовлетворялся, т.е. .

В соответствии с вышеизложенным, введем две функции убытков:

а) - убытки в k -м периоде, вызванные тем, что производство превышает спрос и появляются излишние запасы (, );

б) - убытки в k -м периоде, вызванные неравномерностью производственной программы по месяцам (, ).

Таким образом, первая функция (g_k)определяет убытки от перепроизводства продукции, вторая (h_k) - убытки, связанные с изменением уровня запасов или обслуживания.

Тогда целевая функция может быть записана в виде:

(3.1)

при ограничениях

. (3.2)

Данная задача может быть решена методом динамического программирования. Обозначим через суммарные издержки при оптимальной производственной программе на год, если до конца планируемого периода остается k периодов. Тогда оптимальное решение можно получить с помощью следующих рекуррентных соотношений:

, (3.3)

где , (3.4)

. (3.5)

Начальные условия: и .

Решение. Функцию издержек вследствие перепроизводства продукции принимают равной gk(zk – rk) = 2 (zk – rk) + 10, k = . Затраты на увеличение производительности предполагают

равными этому увеличению h_k(z_k – с) = 3 а, где , а затраты на уменьшение производительности - равными нулю.

Расчет начинаем с конца, т.е. с 6-го периода. Так как r_k = т, r_k-1 = = т, и т, то из (4) и (5) получаем соответственно: , .

Алгоритм расчета следующий: фиксируем = 29 т и перебираем значения от минимального (25 т) до максимального (42 т). Имеем:

; : f ₆(29) = g ₆(25 – 25) + h ₆(25 – 29) + f ₇(25) = 10 + 0 + 0 = ;

; : f ₆(29) = g ₆(26 – 25) + h ₆(26 – 29) + f ₇(26) = 12 + 0 + 0 = ;

.........................................................................

z ₆ = 29: f ₆(29)= g ₆(29 – 25) + h ₆(29 – 29) + f ₇(29) = 18 + 0 + 0 = 18;

z ₆ = 30: f ₆(29) = g ₆(30 – 25) + h ₆(30 – 29) + f ₇(30) = 20 + 3^.13 + 0 = 59;

.........................................................................

z ₆ = 42: f ₆(29) = g ₆(42 – 25) + h ₆(42 – 29) + f ₇(42) = 44 + 39 + 0 = 83.

На втором этапе увеличиваем на единицу и повторяем расчеты. Расчеты продолжаются до достижения значения с = 42. Результаты расчетов сведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Значения функции f ₆(c)

Из табл.3.2 видно, что для каждого значения с минимальное значение функции f ₆ (c) = 10достигается при z ₆ (c) = 25. Эти значения z должны быть признаны оптимальными для соответствующих с при k = 6. Они заносятся в табл. 3.3, которая в дальнейшем будет использована для определения оптимальной программы производства.

Затем переходим к расчетам с 5-го по 1-й период включительно. Для 5-го периода из (3.4) и (3.5) имеем: , .

с = 28; z ₅ = 29: f ₅(28) = g ₅(29 – 29) + h ₅(29 – 28) + f ₆(29) = 10 + 42 + 10 = 62;

а = 14; z ₅ = 30: f ₅(28) = g ₅(30 – 29) + h ₅(30 – 28) + f ₆(30)= 12 + 42 + 10 = 64;

.........................................................................

с = 29; z ₅ = 29: f ₅(29) = g ₅(29 – 29) + h ₅(29 – 29) + f ₆(29) = 10 + 0 + 10 = 20;

а = 13; z ₅ = 30: f ₅(29) = g ₅(30 – 29) + h ₅(30 – 29) + f ₆(30) = 12 + 39 + 10 = 61, и т.д.

Результаты всех дальнейших расчетов при различных и , соответствующие минимальным значениям , до 1-го периода включительно представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значения функций f ₆(с) – f ₁(c)

k	c	zk	fk(c)	k	с	zk	fk(c)	k	c	zk	fk(c)
	29				42	29			36
…	…	…	…					…	…	…	…
	29				35
				…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…
					35					35

Минимальные издержки при оптимальной политике выпуска продукции составляют, как это видно из табл. 3.3, f ₁(42) = 121. Используя данные табл. 3.3 и двигаясь в обратном направлении, т.е. от 1-го до 6-го периода, можно получить производственную программу на год. Для оптимального значения f ₁ = 121 по табл. 3.3 определяется значение z ₁, соответствующее f ₁(42). Оно составляет z ₁ = 35. По этому значению определяется функция f_k(c) для 2-го периода, т.е. f ₂(35), для которого z ₂ = 35; соответственно функции f ₃(35) соответствует z ₃ = 42; f ₄(42) – z ₄ = 29; f ₅(29) - z ₅ = 29; f ₆(29) – z ₆ = 25. Порядок выбора показан стрелками в табл. 3.3. Полученная таким образом производственная программа за год представлена в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Производственная программа за год