Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры





Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат.

Обратную матрицу находим по формуле .

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника:

Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Сосотавляем матрицу из алгебраических дополнений ( ) и транспонируем ее.

;

;

;

 

;

;

;

;

;

;

.

 

Выполним проверку:

· =

.

 

·

 

 

Получим: A-1×A=A×A-1=E. Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: .

 

Пример 2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

.

Решение:

Найдем главный определитель системы

Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители:

Неизвестные находим по формулам Крамера:

; .

Ответ: .

 

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

.

Решение.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).

 

.

Ответ: .

 

Пример 4. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса .

 

Решение.

Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0;0;0;0), поэтому нас интересуют другие решения системы.

Применяем метод Гаусса:

 

.

 

Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3x4 и 3x5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца: , так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Следовательно, ранги основной и расширенной матриц равны 3. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна. Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=4, то она имеет бесчисленное множество решений. Закрепленных (базисных) переменных будет 3 (так как r=3), свободных переменных будет (n-r=4-3=1) одна. Минор, который мы составили выше, называется базисным, а переменные, входящие в него, базисными. Следовательно, - базисные переменные, а - свободная, то есть . Выполним обратный ход метода Гаусса:



.

Решением системы будет множество четверок чисел , где .

Например, (0;2;2;0), (0;-1;-1;0), - решения системы.

Ответ: .

Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.

 

Пример 5. Даны координаты векторов и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

; ; ; ; .

 

Решение.

Если векторы образуют базис, то существует разложение вектора в этом базисе , то есть

.

Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора в базисе означает решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными . Эта система будет иметь единственное решение, если ее основной определитель будет отличен от нуля.

Решаем методом Гаусса:

Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали , видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы независимы и образуют базис.

Найдем координаты вектора b в этом базисе

 

.

 

Следовательно, или b=(5;0;-1;2) в базисе .

Ответ: .

 

 






Date: 2015-10-19; view: 102; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию