Определители и их вычисления

Матрицей размера m x n называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

, (1.1)

где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер столбца, на пересечении которых находится элемент . В другой записи (1.1) имеет вид

. (1.2)

Если m=n, то матрица (1.1) называется квадратной.

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка

. (1.3)

Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице (1.3), называется число, обозначаемое и определяющееся по следующему правилу:

. (1.4)

Например: .

Определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной матрице A третьего порядка , (1.5)

называется число, обозначаемое и определяющееся по следующему правилу:

. (1.6)

Возьмем определитель 4-го порядка

(1.7)

и рассмотрим, например, его элемент . Мысленно зачеркнем третью строку и первый столбец, на пересечении которых находится этот элемент. Тем самым из оставшихся элементов образуем число

(1.8)

которое называется алгебраическим дополнением элемента . Определитель

, (1.9)

называется минором элемента . Таким образом, .

Определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца.

Например, или .

Разложение удобно вести по строке (столбцу), где больше нулей.

Квадратная матрица A называется невырожденной (вырожденной), если ее определитель ().

Матрица называется обратной к матрице A, если , где E –единичная квадратная матрица.

. (1.10)

Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.