Где и как возникла нынешняя (позиционная) система счисления

Мы видели, что некоторые народы – евреи, греки, римляне, русские – употребляли буквы не только для записи слов, но и для записи чисел. Другие народы писали при помощи значков, похожих на иероглифы, но зато придумали, как с помощью немногих знаков записывать большое количество чисел.

Особенно любопытный способ записи чисел возник в древнем Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитках из мягкой глины и обжигали потом свои «рукописи». Получались прочные кирпичные «документы»; некоторые из них частично сохранились и до нашего времени. Учёные нашли при раскопках немало кирпичных актов, государственных и торговых договоров, даже учебников. Поэтому жизнь древнего Вавилона нам хорошо известна.

Сама техника письма палочкой по мягкой глине привела к тому, что все картинки-иероглифы вавилонян были построены из узких вертикальных или горизонтальных клинышков – таких: или таких:

Письменность древних вавилонян так и называют «клинописью». На рисунке 7 изображено два вавилонских кирпичика с клинописью; на этих кирпичиках написаны таблицы цифр.

Примерно 371/2 веков, т. е. без малого 4 тысячи лет тому назад, в Месопотамию – долину между реками Тигром и Евфратом на территории нынешнего Ирака – пришли два кочевых народа: сумерийцы и аккадяне. Это были народы для своего времени очень развитые: они умели пахать землю, разводить скот, знали ремёсла и торговлю. Через два века они слились в одно мощное государство – Вавилон.

Ко времени слияния каждый из этих народов – и сумерийцы, и аккадяне – имел свои весовые и денежные единицы. Основной единицей веса у сумерийцев была «мина» – на наш вес приблизительно 1/2 килограмма. Денежной единицей у них служила мима серебра. У аккадян масштабы были мельче. Их единица веса – «шекель» – была в шестьдесят раз меньше сумерийской мины (конечно, не точно, а приблизительно в шестьдесят раз, но грубые весы того времени не улавливали разницы). После слияния «имели хождение» обе единицы веса, как у нас в первое время после Октябрьской революции пользовались и фунтом, и килограммом. В денежном обращении мины и шекели серебра играли роль наших рублей и копеек, только шекель был не сотой, а шестидесятой частью более крупной денежной единицы – мины.

Торговля и хозяйство развивались, обороты росли. Как нам, кроме граммов и килограммов, нужны тонны, так и в Вавилоне понадобилась более увесистая единица.

Естественно, что новую весовую единицу установили в шестьдесят раз больше мины: число «шестьдесят» было уже привычным при хозяйственных расчётах. Её назвали «талант». Возникла и новая денежная единица – талант серебра, равный 60 минам серебра (или 60X60 = 3600 шекелей серебра).

Наличие трёх единиц (весовых и денежных), из которых каждая равна шестидесяти меньшим, привело к тому, что вавилонянам не приходилось называть и записывать числа, большие чем шестьдесят. Как мы не говорим «двести пятнадцать копеек» или «тысяча тридцать семь граммов», а говорим «два пятнадцать» или «кило тридцать семь граммов», так и вавилоняне говорили: «две мины сорок шекелей» вместо того, чтобы сказать «сто шестьдесят шекелей». Поэтому им для обозначения чисел нужно было только пятьдесят девять значков.

Мы уже говорили, что вавилонское письмо строилось из клинышков. Единица обозначалась одним вертикальным клинышком, два – двумя и т. д., до девяти клинышков. Вот вавилонские значки для первых девяти чисел:

Клинышки в этих значках расположены так разумно, что при чтении не приходится их пересчитывать: количество их сразу бросается в глаза.

Для десяти был особый значок – широкий поперечный клинышек. Вот как записывались числа второго десятка:

Подобно этому записывались и большие числа. Вот несколько примеров:

Первоначально мины обозначались значками большего размера, чем шекели. Например, 20 мин 34 шекеля записывались так:

В более поздние времена все единицы стали записывать совершенно одинаково: только положение значка показывало, какие единицы он обозначал. Например, 2 таланта 13 мин 41 шекель записывалось так:

Вавилонский народ развивался, земледельцам понадобился календарь, торговцы научились плавать по морю. И календарь, и мореплавание требовали знания движения небесных светил. Возникла наука о светилах – астрономия. В Вавилоне астрономия пользовалась большим уважением. Её развитие требовало, в свою очередь, усовершенствования счёта. Приходилось записывать всё большие и большие числа, причём числа эти обозначали теперь не вес и не деньги, а самые разнообразные величины. Появился интерес к числам самим по себе, не связанным с пересчитываемыми или измеряемыми предметами. Такие числа называются «отвлечёнными».

Для записи отвлечённых чисел не стали придумывать новых значков, а использовали уже имеющиеся. Запись

стала обозначать не двадцать одну мину тридцать два шекеля, как раньше, а тридцать две единицы, да ещё двадцать один раз шестьдесят таких единиц (то-есть, по-нашему, число 1292). Иначе говоря, левый значок обозначает двадцать одну единицу второго разряда, а правый – тридцать две простые единицы. Единица второго разряда в шестьдесят раз больше простой единицы, как мина была в 60 раз больше шекеля. Запись

означает «тринадцать единиц второго разряда и тринадцать простых единиц», т. е., по-нашему, число 793. Точно так же и у нас, например, в числе 33 – тройка, стоящая слева, обозначает три десятка, т. е. три единицы второго разряда, а тройка, стоящая справа – три простые единицы.

Такая система записи чисел, когда смысл значка меняется в зависимости от его положения, называется позиционной системой счисления или позиционной нумерацией (от латинского слова positlo – позицио, что значит «положение»).

Позиционную систему счисления, как мы видим, изобрели вавилоняне. У нас теперь тоже принята позиционная нумерация, но значок (цифра), поставленный слева, у нас обозначает число в 10 раз большее, чем такой же значок, стоящий справа, а не в 60 раз, как у вавилонян.

Поэтому говорят, что у нас десятичная система счисления, а в Вавилоне была шестидесятиричная система счисления.

Позиционная система позволила вавилонянам записывать очень большие числа. Наш миллион, например, они записали бы так:

Вавилоняне записывали и значительно большие числа, вплоть до чисел, в миллион раз больших миллиарда.

Долгое время – сотни лет – у вавилонян не было значка, соответствующего нашему нулю. Число 65, состоящее из одной единицы второго разряда (60) и пяти простых единиц, они записывали так:

а для числа 3605, содержащего одну единицу третьего разряда (3600 = 60 X 60), совсем не содержащего единиц второго разряда и содержащего пять простых единиц, – оставляли пустое место посередине и писали его так:

При письме от руки, особенно на глине, как это делали вавилоняне, промежутки получались неодинаковой величины, а это, в свою очередь, вело к путанице в расчётах и документах. Начиная с некоторого времени, на вавилонских кирпичиках появляется новый знак – знак разделения – он соответствовал нашему нулю и показывал, что в числе совсем нет единиц того разряда, на месте которого стоит этот значок. Так, например, число 3 605 (в нём отсутствуют единицы второго разряда) стали записывать так:

– смешать эти числа больше было нельзя.

Но вот что любопытно. Введя знак разделения в середине чисел, вавилоняне так и не додумались до того, чтобы ставить его на конце. Числа 1, 60, 3600 записывались у вавилонян одинаково:

Писать же

как это сделали бы мы, они не догадались. Поэтому некоторая путаница в документации у вавилонян осталась и после введения знака разделения.

Вавилонская арифметика оказала значительное влияние на греческую, китайскую и, особенно, на индийскую науку. Следы её сохранились до сих пор. Так, и сейчас мы делим время по образцу вавилонян: час делится на 60 минут, минута – на 60 секунд (подобно тому как талант делился на 60 мин, а мина – на 60 шекелей).

Вавилоняне умели выполнять действия не только с целыми, но и с простейшими дробными числами. Они составили ряд математических таблиц, учебников и сборников задач – всё это, разумеется, на кирпичиках. В Месопотамию приходили новые народы, сменялись цари и царства, но вавилонская культура держалась. Она просуществовала пятнадцать столетий.

Хотя вавилонские математики умели записывать очень большие числа, но они не могли представить себе, что чисел бесконечно много. Это, как мы уже говорили, поняли только греки. С другой стороны, сама форма записи чисел у вавилонян не была совершенна; нужно было, сохранив позиционную систему, заменить основное число «шестьдесят» меньшим числом и научиться правильно употреблять знак «нуль». Это было сделано индусами.

У древних греков математика достигла необычайного расцвета. Можно сказать, что вся нынешняя математика выросла из греческой. Сами слова: «арифметика», «математика», «геометрия» – греческие. Греки прекрасно выполняли действия с целыми и дробными числами. Один из крупнейших греческих математиков, Архимед, живший 22 века тому назад в городе Сиракузах (на острове Сицилия), построил систему счисления, которая, во-первых, ясно показала, что чисел бесконечно много, а во-вторых, позволила назвать каждое число, как бы велико оно ни было.

Архимед был замечательным математиком, физиком, машиностроителем и военным инженером. Он написал очень много книг по математике и механике. По арифметике он написал замечательное сочинение, которое назвал «Псаммит или исчисление песку в шаре неподвижных звёзд».

Когда про какие-нибудь предметы хотят сказать, что их так много, что и пересчитать нельзя, то часто говорят: «бесчисленны, как песок морской». Архимед показал, что можно назвать числа, которые значительно больше числа песчинок на земле. Мало того, если бы вся доступная нам Вселенная – до самых далёких звёзд, которые только охватывает глаз – была набита тончайшей пылью, то и для такого количества пылинок нашлось бы число, и можно было бы назвать числа ещё гораздо большие.

Греческая культура перешла к древним римлянам, которые переняли и сохранили её. Но пятнадцать веков тому назад Римская империя перестала существовать.

В Европе происходили постоянные войны, нашествия, малокультурных народов. Очень тяжёл был гнёт христианской церкви, достигшей к тому времени большой силы. Всё это привело к падению культуры; многими ремёслами перестали заниматься, а достижения науки были забыты. Европа того времени вполне довольствовалась примитивным счётом в пределах десятков тысяч и римскими цифрами. Великие творения греческих мудрецов были забыты.

Но в далёкой Индии наука и искусство достигли в это время пышного расцвета. Наиболее высоко развилась астрономия, сохранившая все достижения вавилонской науки о звёздах. Особенно почиталась математика, потому что с её помощью можно было рассчитать календарь, установить наступление времён года, предсказывать солнечные и лунные затмения. Математики пользовались в Индии большим уважением. «Как солнце своим блеском затмевает звёзды, так мудрец превзойдёт всех, если он в народном собрании предложит задачи и искусно решит их», – говорили индусы. Один из разделов математики назывался «Лилавати», что значит «прекрасная», а задачи принято было облекать в форму стихотворений.

Но особенно любили индусы большие числа. И вот для записи больших чисел была изобретена система счисления, в которой соединялся привычный счёт десятками с вавилонской позиционной записью, и стал разумно употребляться знак «нуль». Этой системой записи чисел мы пользуемся и поныне.

Как же эта система попала из Индии в Европу?

На Аравийском полуострове, лежащем на полпути между Европой и Индией, в VII веке нашей эры произошли крупные события. Арабские племена, населявшие этот полуостров, объединились и, руководимые блестящим полководцем и вдохновенным пророком Магометом, захватили и организовали в единую державу ряд небольших соседних государств. При наследниках Магомета арабское государство расширилось и, осваивая культуру западных и восточных соседей, достигло большого расцвета. На западе, у египтян, арабы переняли то, что сохранилось от культуры древних греков, а на востоке заимствовали у индусов искусства строить и считать.

Это слияние западной и восточной культур у молодого народа, который быстро развивался и распространял своё влияние, привело к необычайному расцвету наук. Развитие мореплавания, торговли и строительного искусства привело к расцвету математики.

Восприняв у индусов искусство счёта, арабы заимствовали от них и значки для записи чисел – цифры (слово «цифра», кстати сказать, тоже арабского происхождения). Вот эти значки в арабском начертании:

Использовались эти значки точно так же, как мы теперь используем наши цифры. Вот запись некоторых чисел у арабов:

Порядок цифр у арабов был такой же, как и у нас.

Эти цифры сохранились и сейчас у народов арабской культуры: у турок, иранцев, афганцев: На рис. 8 изображены современные почтовые марки с арабскими цифрами. До введения алфавита, построенного по русскому образцу, эти цифры были в ходу и у некоторых народов Советского Союза (у татар, азербайджанцев, туркмен и других). Крайняя правая марка на рисунке 8 – марка Азербайджанской ССР 1922 года.

В восьмом веке нашей эры арабы вторглись 8 Европу и завоевали почти всю Испанию. Обратное отвоевание продолжалось несколько сотен лет. Годы войны чередовались с годами мирного соседства. Арабские купцы торговали во Франции и в Италии; европейские молодые люди ездили учиться в Кордову и Толедо – арабские города, славившиеся своей учёностью. Менее культурные европейцы заимствовали у более культурных арабов науки и искусства. Особенно быстро переняли европейские купцы искусство счёта – ведь не умея считать невозможно торговать. Десятичная система счисления быстро распространилась по Европе и вытеснила римские цифры. Сами цифры были взяты у арабов, но в течение веков изменились и постепенно приняли то начертание, которым мы пользуемся теперь.

Заметим, что наши теперешние цифры обычно называются «арабскими», хотя и отличаются от них довольно сильно (кроме единицы и девятки, совершенно одинаковых у арабов и у нас). Правильнее было бы говорить не «арабские цифры», а «арабская система счисления», и даже не «арабская», а «индийская», потому что разработали её индусы, а арабы только занесли в Европу.

В самом начале XIII века один замечательный математик написал несколько интересных и полезных книг. В «Книге о счёте» он подвёл итог всему, что к тому времени было известно по арифметике. С тех пор прошло 750 лет, математика шагнула вперёд семимильными шагами, были разработаны совсем новые отделы этой науки. Но практический счёт с тех пор почти не менялся, и наш школьный учебник арифметики в главах о целых числах мало чем отличается от учебников тех времён.