Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Задание № 6





Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1 Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью 0,95.

3. Построить коррелограмму.

4. Построить модель тенденции временного ряда (любую).

Вари­ант Стоимость акции по месяцам (руб.)
    78,2 78,6 83,5   82,3 87,1 86,3 85,5 91,4 90,6 90,7

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х1, Х2,... Хn-L и рядом Х1+L, Х2+L,... Хn, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка rt,t-1. Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка rt,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.

Если наиболее высоким оказывается значение rt,t-1, то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался rt,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Если ни один из rt,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

• либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

• либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 12, а по 11 парам наблюдений):

Два важных свойства коэффициента автокорреляции:

1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt yt - 1
  78.2
78.2 78.6
78.6 83.5
83.5  
  82.3
82.3 87.1
87.1 86.3
86.3 85.5
85.5 91.4
91.4 90.6
90.6 90.7

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-1:

 

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rt,t-1 < 0.3: слабая;

0.3 < rt,t-1 < 0.5: умеренная;

0.5 < rt,t-1 < 0.7: заметная;

0.7 < rt,t-1 < 0.9: высокая;

0.9 < rt,t-1 < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между рядами - высокая и прямая.

x y x2 y2 x • y
  78.2   6115.24 6177.8
78.2 78.6 6115.24 6177.96 6146.52
78.6 83.5 6177.96 6972.25 6563.1
83.5   6972.25   6763.5
  82.3   6773.29 6666.3
82.3 87.1 6773.29 7586.41 7168.33
87.1 86.3 7586.41 7447.69 7516.73
86.3 85.5 7447.69 7310.25 7378.65
85.5 91.4 7310.25 8353.96 7814.7
91.4 90.6 8353.96 8208.36 8280.84
90.6 90.7 8208.36 8226.49 8217.42
923.5 935.2 77747.41 79732.9 78693.89

Значимость коэффициента автокорреляции.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=9 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически - значим

Интервальная оценка для коэффициента автокорреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

 

r(0.59;1.04)

Частный коэффициент корреляции:

Ф1 = r1

Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt yt - 2
  78.6
78.2 83.5
78.6  
83.5 82.3
  87.1
82.3 86.3
87.1 85.5
86.3 91.4
85.5 90.6
91.4 90.7

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-2:

 

x y x2 y2 x • y
  78.6   6177.96 6209.4
78.2 83.5 6115.24 6972.25 6529.7
78.6   6177.96   6366.6
83.5 82.3 6972.25 6773.29 6872.05
  87.1   7586.41 7055.1
82.3 86.3 6773.29 7447.69 7102.49
87.1 85.5 7586.41 7310.25 7447.05
86.3 91.4 7447.69 8353.96 7887.82
85.5 90.6 7310.25 8208.36 7746.3
91.4 90.7 8353.96 8226.49 8289.98
832.9   69539.05 73617.66 71506.49

Значимость коэффициента автокорреляции.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически - значим

Интервальная оценка для коэффициента автокорреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

 

r(0.43;1.07)

Частный коэффициент корреляции:

 

Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt yt - 3
  83.5
78.2  
78.6 82.3
83.5 87.1
  86.3
82.3 85.5
87.1 91.4
86.3 90.6
85.5 90.7

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-3:

 

x y x2 y2 x • y
  83.5   6972.25 6596.5
78.2   6115.24   6334.2
78.6 82.3 6177.96 6773.29 6468.78
83.5 87.1 6972.25 7586.41 7272.85
  86.3   7447.69 6990.3
82.3 85.5 6773.29 7310.25 7036.65
87.1 91.4 7586.41 8353.96 7960.94
86.3 90.6 7447.69 8208.36 7818.78
85.5 90.7 7310.25 8226.49 7754.85
741.5 778.4 61185.09 67439.7 64233.85

Значимость коэффициента автокорреляции.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (7;0.025) = 2.365

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически - значим

Интервальная оценка для коэффициента автокорреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

 

r(0.94;1.01)

Частный коэффициент корреляции:

Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt yt - 4
   
78.2 82.3
78.6 87.1
83.5 86.3
  85.5
82.3 91.4
87.1 90.6
86.3 90.7

Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-4:

 

x y x2 y2 x • y
         
78.2 82.3 6115.24 6773.29 6435.86
78.6 87.1 6177.96 7586.41 6846.06
83.5 86.3 6972.25 7447.69 7206.05
  85.5   7310.25 6925.5
82.3 91.4 6773.29 8353.96 7522.22
87.1 90.6 7586.41 8208.36 7891.26
86.3 90.7 7447.69 8226.49 7827.41
  694.9 53874.84 60467.45 57053.36

Значимость коэффициента автокорреляции.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически - значим

Интервальная оценка для коэффициента автокорреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

 

r(0.4;1.13)

Частный коэффициент корреляции:

Лаг (порядок) rt,t-L Коррелограмма
  0.82 ****
  0.75 ****
  0.98 *****
  0.76 ****

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (rt,t-1 = 0.818 → 1). А также имеются периодические колебания с периодом, равным 3 (rt,t-3=0.98 → 1).

При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

Δ1t = Yt - Yt-1

Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:

Δ2t = Δ1t - Δ1t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δjt = Δj-1t - Δj-1t-1

Если общая тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Δ12 = Δ13 =... = Δ1n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y = a+ bt + ct2, то получим постоянными конечные разности второго порядка: Δ23 = Δ24 =... = Δ2n, нулевыми – разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция.

При выборе формы уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R2.

 

 

yi Δ1t Δ2t Темп роста
  - - -
78.2 -0.8 - 0.99
78.6 0.4 1.2 1.01
83.5 4.9 4.5 1.06
  -2.5 -7.4 0.97
82.3 1.3 3.8 1.02
87.1 4.8 3.5 1.06
86.3 -0.8 -5.6 0.99
85.5 -0.8   0.99
91.4 5.9 6.7 1.07
90.6 -0.8 -6.7 0.99
90.7 0.1 0.9  

 

Линейное уравнение тренда имеет вид y = a1t + a0

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y • t

 

 

t y t2 y2 t y
         
  78.2   6115.24 156.4
  78.6   6177.96 235.8
  83.5   6972.25  
         
  82.3   6773.29 493.8
  87.1   7586.41 609.7
  86.3   7447.69 690.4
  85.5   7310.25 769.5
  91.4   8353.96  
  90.6   8208.36 996.6
  90.7   8226.49 1088.4
  1014.2   85973.9 6772.6

 

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

12a0 + 78a1 = 1014.2

78a0 + 650a1 = 6772.6

 

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 76.321, a1 = 1.261

Уравнение тренда:

y = 1.261 t + 76.321

 

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 1.261 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 1.261.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

Дисперсия

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора t с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1%.

 

 

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние t на Y не существенно.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

где

 

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 88.42% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

 

 

t y y(t) (y-ycp)2 (y-y(t))2 (y-y(t)): y
    77.58 30.43 2.01 0.0179
  78.2 78.84 39.9 0.41 0.00822
  78.6 80.1 35.01 2.26 0.0191
  83.5 81.36 1.03 4.56 0.0256
    82.63 12.37 2.64 0.0201
  82.3 83.89 4.91 2.52 0.0193
  87.1 85.15 6.67 3.81 0.0224
  86.3 86.41 3.18 0.0116 0.00125
  85.5 87.67 0.97 4.7 0.0254
  91.4 88.93 47.38 6.1 0.027
  90.6 90.19 37.01 0.17 0.00452
  90.7 91.45 38.23 0.56 0.00828
    1014.2 257.1 29.77 0.2

 

 

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

 

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

 

 

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = yn+L ± K

где

 

L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Точечный прогноз, t = 13: y(13) = 1.26*13 + 76.32 = 92.71

 

92.71 - 4.51 = 88.2; 92.71 + 4.51 = 97.22

Интервальный прогноз:

t = 13: (88.2;97.22)

Точечный прогноз, t = 14: y(14) = 1.26*14 + 76.32 = 93.97

 

93.97 - 4.67 = 89.3; 93.97 + 4.67 = 98.64

Интервальный прогноз:

t = 14: (89.3;98.64)

Точечный прогноз, t = 15: y(15) = 1.26*15 + 76.32 = 95.23

 

95.23 - 4.84 = 90.39; 95.23 + 4.84 = 100.07

Интервальный прогноз:

t = 15: (90.39;100.07)

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

 

 

Статистическая значимость коэффициента b подтверждается

 

 

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(1.261 - 2.228•0.14; 1.261 + 2.228•0.14)

(0.94;1.58)

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(76.321 - 2.228•1.06; 76.321 + 2.228•1.06)

(73.96;78.69)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Коэффициент детерминации.

 

 

Находим из таблицы Fkp(1;10;0.05) = 4.96

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим


Date: 2015-09-22; view: 1889; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию