Модели строения атома

Одна из первых моделей строения атома была предложена Томсоном в 1903 г. Атом представлялся как «море положительного электричества» с коле­блющимися в нем электронами. Суммарный отрицательный заряд электронов электронейтрального атома приравнивался его суммарному положительному заряду

Планетарная модель. Для проверки гипотезы Томсона и более точ­ного определения строения атома Резерфорд провел серию опытов по рассея­нию α-частиц тонкими металлическими пластинками — фольгой.

Источник а-излучения помещали в свинцовый кубик с просверленным в нем каналом, так что удавалось получить поток α-частиц, летящих в определенном направлении. Альфа-частицы являются двукратно ионизированными атомами гелия (Не²⁺). Они имеют положительный заряд +2 и массу, почти в 7350 раз превышающую массу электрона. Попадая на экран, покрытый сульфидом цин­ка, а-частицы вызывали его свечение, причем в лупу можно было увидеть и подсчитать отдельные вспышки, возникающие на экране при попадании на него каждой α-частицы. Между источником излучения и экраном помещали фоль­гу. По вспышкам на экране можно было судить о рассеянии α-частиц, т. е. об их отклонении от первоначального направления при прохождении через слой металла.

Оказалось, что большинство α-частиц проходит через фольгу, не изменяя сво­его направления, хотя толщина фольги соответствовала сотням тысяч атомных диаметров. Но некоторая доля α-частиц все же отклонялась на небольшие углы, а изредка α-частицы резко изменяли направление своего движения и даже (при­мерно 1 из 100000} отбрасывались назад, как бы натолкнувшись на массивное препятствие. Случаи такого резкого отклонения α-частиц можно было наблю­дать, перемещая экран с лупой по дуге.

Из результатов этих опытов следовало, что подавляющая часть пространства, занимаемого атомом металла, не содержит тяжелых частиц — там могут разме­щаться только электроны. Ведь масса электрона почти гораздо меньше массы а-частицы, так что столкновение с электроном практически не может повлиять на направление движения а-частицы. Случаи же резкого отклонения и даже отбрасывания а-частиц означают, что в атоме есть какое-то тяжелое ядро, в ко­тором сосредоточена преобладающая часть всей массы атома. Это ядро занимает очень маленький объем, — именно поэтому а-частицы так редко с ним сталки­ваются, — и должно обладать положительным зарядом, который и вызывает отталкивание одноименно заряженных а-частиц.

Результаты опыта Резерфорд объяснил, предложив «планетарную» модель атома, уподоблявшую его солнечной системе. Согласно планетарной модели в центре атома находится очень маленькое ядро, размеры которого приблизитель­но в 100000 раз меньше размеров самого атома. Это ядро заключает в себе почти всю массу атома и несет положительный заряд. Вокруг ядра движутся электро­ны, число которых определяется зарядом ядра. Внешняя траектория движения электронов определяет внешние размеры атома. Диаметр атома — величина по­рядка 10^-8 см, а диаметр ядра — порядка 10^-13—10^-12 см.

Чем больше заряд атомного ядра, тем сильнее будет отталкиваться от него α-частица. тем чаще будут встречаться случаи сильных отклонений α-частиц, проходящих через слой металла, от первоначального направления движения. Поэтому опыты по рассеянию α-частиц дают возможность не только обнару­жить существование атомного ядра, но и определить его заряд. Уже из опытов Резерфорда следовало, что заряд ядра (выраженный в единицах заряда элек­трона) численно равен порядковому номеру элемента в периодической системе.

Был установлен физический смысл порядкового номера элемента в периоди­ческой системе: порядковый номер оказался важнейшей константой элемента, выражающей положительный заряд ядра его атома. Из электронейтральности атома следует, что и число вращающихся вокруг ядра электронов равно поряд­ковому номеру элемента.

Это открытие дало новое обоснование расположению элементов в периодиче­ской системе. Вместе с тем оно устраняло и кажущееся противоречие в систе­ме Менделеева -— положение некоторых элементов с большей атомной массой впереди элементов с меньшей атомной массой (теллур и йод, аргон и калий, ко­бальт и никель). Оказалось, что противоречия здесь нет, так как место элемента в системе определяется зарядом атомного ядра. Было экспериментально уста­новлено, что заряд ядра атома теллура равен 52, а атома йода — 53; поэтому теллур, несмотря на большую атомную массу, должен стоять до йода. Точно так же заряды ядер аргона и калия, никеля и кобальта полностью отвечают последовательности расположения этих элементов в системе.

Итак, заряд атомного ядра является той основной величиной, от которой за­висят свойства элемента и его положение в периодической системе. Поэтому периодический закон Менделеева в настоящее время можно сформулировать следующим образом:

свойства элементов и образуемых ими простых и сложных веществ нахо­дятся в периодической зависимости от заряда ядра атомов элементов.

Определение порядковых номеров элементов по зарядам ядер их атомов позво­лило установить общее число мест в периодической системе между водородом, имеющим порядковый номер 1, и ураном (порядковый номер 92), считавшимся в то время последним членом периодической системы элементов. Когда созда­валась теория строения атома, оставались незанятыми места 43, 61, 72, 75, 85 и 87, что указывало на возможность существования еще неоткрытых элементов. И действительно, в 1922 г. был открыт элемент гафний, который занял место 72; затем в 1925 г.— рений, занявший место 75. Элементы, которые должны за­нять остальные четыре свободных места таблицы, оказались радиоактивными и в природе не найдены, однако их удалось получить искусственным путем. Новые элементы получили названия технеций (порядковый номер 43), прометий (61), астат (85) и франций (87). В настоящее время все клетки периодической систе­мы между водородом и ураном заполнены. Однако сама периодическая система не является завершенной.

Атомные спектры. Планетарная модель была крупным шагом в те­ории строения атома. Однако в некоторых отношениях она противоречила твер­до установленным фактам. Отметим два таких противоречия.

Во-первых, теория Резерфорда не могла объяснить устойчивости атома. Элек­трон, вращающийся вокруг положительно заряженного ядра, должен, подобно колеблющемуся электрическому заряду, испускать электромагнитную энергию в виде световых волн. Но, излучая свет, электрон теряет часть своей энергии, что приводит к нарушению равновесия между центробежной силой, связанной с вращением электрона, и силой электростатического притяжения электрона к ядру. Для восстановления равновесия электрон должен переместиться ближе к ядру. Таким образом, электрон, непрерывно излучая электромагнитную энер­гию и двигаясь по спирали, будет приближаться к ядру. Исчерпав всю свою энергию, он должен «упасть» на ядро, и атом прекратит свое существование. Этот вывод противоречит реальным свойствам атомов, которые представляют собой устойчивые образования, и могут существовать, не разрушаясь, чрезвы­чайно долго.

Во-вторых, модель Резерфорда приводила к неправильным выводам о харак­тере атомных спектров. Напомним, что при пропускании через стеклянную или кварцевую призму света, испускаемого раскаленным твердым или жидким те­лом, на экране, поставленном за призмой, наблюдается так называемый сплош­ной спектр, видимая часть которого представляет собой цветную полосу, содер­жащую все цвета радуги. Это явление объясняется тем, что излучение раска­ленного твердого или жидкого тела состоит из электромагнитных волн всевоз­можных частот. Волны различной частоты неодинаково преломляются призмой и попадают на разные места экрана. Совокупность частот электромагнитного из­лучения, испускаемого веществом, и называется спектром испускания. С другой стороны, вещества поглощают излучение определенных частот. Совокупность последних называется спектром поглощения, вещества.

Для получения спектра вместо призмы можно воспользоваться дифракционной ре­шеткой. Последняя представляет собой стеклянную пластинку, на поверхности которой на очень близком расстоянии друг от друга нанесены тонкие параллельные штрихи (до 1500 штрихов на 1 мм). Проходя сквозь такую решетку, свет разлагается и образует спектр, аналогичный полученному при помощи призмы. Дифракция присуща всякому волновому движению и служит одним из основных доказательств волновой природы света.

Излучение, испускаемое твердыми телами или жидкостями, всегда дает спло­шной спектр. Излучение, испускаемое раскаленными газами и парами, в отличие от излучения твердых тел и жидкостей, содержит только определенные длины волн. Поэтому вместо сплошной полосы на экране получается ряд отдельных цветных линий, разделенных темными промежутками. Число и расположение этих линий зависят от природы раскаленного газа или пара. Так, пары калия дают спектр, состоящий из трех линий, — двух красных и одной фиолетовой; в спектре паров кальция несколько красных, желтых и зеленых линий и т. д.

Такие спектры называются линейчатыми. Было установлено, что свет, испуска­емый атомами газов, имеет линейчатый спектр, в котором спектральные линии могут быть объединены в серии.

В каждой серии расположение линий соответствует определенной закономер­ности.

Тот факт, что атомы каждого элемента дают вполне определенный, присущий только этому элементу спектр, причем интенсивность соответствующих спектральных линий тем выше, чем больше содержание элемента во взятой пробе, широко применяется для определения качественного и количественного состава веществ и материалов. Этот метод исследования называется спектральным анализом.

Планетарная модель строения атома оказалась неспособной объяснить ли­нейчатый спектр испускания атомов водорода и тем более объединение линий спектра в серии. Как было указано выше, электрон, вращающийся вокруг ядра, должен приближаться к ядру, непрерывно меняя скорость своего движения. Ча­стота испускаемого им света определяется частотой его вращения и, следова­тельно, должна непрерывно меняться. Это означает, что спектр излучения атома должен быть непрерывным, сплошным. Таким образом, теория Резерфорда не смогла объяснить ни существования устойчивых атомов, ни наличия у них линейчатых спектров.

Существенный шаг в развитии представлений о строении атома сделал в 1913 г. Нильс Бор, предложивший теорию, объединяющую планетарную модель атома с квантовой теорией света.

Квантовая теория света. В 1900 г. М. Планк показал, что способ­ность нагретого тела к лучеиспусканию можно правильно количественно опи­сать, только предположив, что лучистая энергия испускается и поглощается телами не непрерывно, а дискретно, т. е. отдельными порциями — квантами. При этом энергия Е каждой такой порции связана с частотой излучения соот­ношением. получившим название уравнения Планка: Е=h×ѵ

где h, — постоянная Планка, универсальная константа, равная 6,626×10^-34 Дж×с. Сам Планк долгое время полагал, что испускание и поглощение света кван­тами есть свойство излучающих тел, а не самого излучения, которое способно иметь любую энергию и поэтому могло бы поглощаться непрерывно. Однако в 1905 г. Эйнштейн, анализируя явление фотоэлектрического эффекта, пришел к выводу, что электромагнитная (лучистая) энергия существует только в форме квантов и что, следовательно, излучение представляет собой поток неделимых материальных «частиц» (фотонов), энергия которых определяется уравнением Планка.

Фотоэлектрическим эффектом называется испуска­ние металлом электронов под действием падающего на него света. Это явление было подробно изучено в 1888—1890 гг. А. Г. Столетовым. Схема установки для измерения фотоэффекта изображена на рис.. Если поместить установку в вакуум и подать на пластинку М отрицательный потенциал, то тока в цепи наблю­даться не будет, поскольку в пространстве между пла­стинкой и сеткой нет заряженных частиц, способных переносить электрический ток. Но при освещении пла­стинки источником света гальванометр обнаруживает возникновение тока (называемого фототоком), носите­лями которого служат электроны, вырываемые светом из металла.

Оказалось, что при изменении интенсивности осве­щения изменяется только число испускаемых метал­лом электронов, т. е. сила фототока. Но максимальная кинетическая энергия каждого вылетевшего из метал­ла электрона не зависит от интенсивности освещения, а изменяется только при изме­нении частоты падающего на металл света. Именно с увеличением длины волны (т. с. с уменьшением частоты(длина волны света λ и его частота ѵ связаны соотношением λ × ѵ = C, где С — скорость света)) энергия испускаемых металлом электронов уменьшается, а затем, при определенной для каждого металла длине волны, фотоэффект исчезает и не проявляется даже при очень высокой интенсивности освещения. Так, при осве­щении красным или оранжевым светом натрий не проявляет фотоэффекта и начинает испускать электроны только при длине волны, меньшей 590 нм (желтый свет); у ли­тия фотоэффект обнаруживается при еще меньших длинах волн, начиная с 516 нм (зеленый свет); а вырывание электронов из платины под действием видимого света во­обще не происходит и начинается только при облучении платины ультрафиолетовыми лучами.

Эти свойства фотоэлектрического эффекта совершенно необъяснимы с позиций клас­сической волновой теории света, согласно которой эффект должен определяться (для данного металла) только количеством энергии, поглощаемой поверхностью металла в единицу времени, но не должен зависеть от типа излучения, падающего на металл. Од­нако эти же свойства получают простое и убедительное объяснение, если считать, что излучение состоит из отдельных порций, фотонов, обладающих вполне определенной энергией.

В самом деле, электрон в металле связан с атомами металла, так что для его вырыва­ния необходима затрата определенной энергии. Если фотон обладает нужным запасом энергии (а энергия фотона определяется частотой излучения!), то электрон будет вы­рван, фотоэффект будет наблюдаться. В процессе взаимодействия с металлом фотон полностью отдает свою энергию электрону, потому что дробиться на части фотон не может. Энергия фотона будет частично израсходована на разрыв связи электрона с ме­таллом, частично на сообщение электрону кинетической энергии движения. Поэтому максимальная кинетическая энергия выбитого из металла электрона не может быть больше разности между энергией фотона и энергией связи электрона с атомами метал­ла. Следовательно, при увеличении числа фотонов, падающих на поверхность металла в единицу времени (т. е. при повышении интенсивности освещения), будет увеличи­ваться только число вырываемых из металла электронов, что приведет к возрастанию фототока, но энергия каждого электрона возрастать не будет. Если же энергия фотона меньше минимальной энергии, необходимой для вырывания электрона, фотоэффект не будет наблюдаться при любом числе падающих на металл фотонов, т. е. при любой интенсивности освещения.

Квантовая теория света, развитая Эйнштейном, смогла объяснить не только свой­ства фотоэлектрического эффекта, но и закономерности химического действия света, температурную зависимость теплоемкости твердых тел и ряд других явлений. Она оказалась чрезвычайно полезной и в развитии представлений о строении атомов и мо­лекул.

Из квантовой теории света следует, что фотон неспособен дробиться: он вза­имодействует как целое с электроном металла, выбивая его из пластинки; как целое он взаимодействует и со светочувствительным веществом фотографиче­ской пленки, вызывая ее потемнение в определенной точке, и т. д. В этом смы­сле фотон ведет себя подобно частице, т. е. проявляет корпускулярные свойства. Однако фотон обладает и волновыми свойствами: это проявляется в волновом характере распространения света, в способности фотона к интерференции и ди­фракции. Фотон отличается от частицы в классическом понимании этого тер­мина тем, что его точное положение в пространстве, как и точное положение любой волны, не может быть указано. Но он отличается и от «классической» волны — неспособностью делиться на части. Объединяя в себе корпускулярные и волновые свойства, фотон не является, строго говоря, ни частицей, ни волной — ему присуща корпускулярно-волновая двойственность.

Строение электронной оболочки атома по Бору. Как уже ука­зывалось, в своей теории Н. Бор исходил из планетарной модели атома. Осно­вываясь на положении квантовой теории света о прерывистой, дискретной при­роде излучения и на линейчатом характере атомных спектров, он сделал вывод, что энергия электронов в атоме не может меняться непрерывно, а изменяется скачками, т. е. дискретно. Поэтому в атоме возможны не любые энергетические состояния электронов, а лишь определенные, «разрешенные» состояния. Иначе говоря, энергетические состояния электронов в атоме квантованы. Переход из одного разрешенного состояния в другое совершается скачкообразно и сопрово­ждается испусканием или поглощением кванта электромагнитного излучения.

Основные положения своей теории Бор сформулировал в виде постулатов (постулат —- утверждение, принимаемое без доказательства), содержание кото­рых сводится к следующему:

1. Электрон может вращаться вокруг ядра не по любым, а только по некото­рым определенным круговым орбитам. Эти орбиты получили название стацио­нарных,

2. Двигаясь по стационарной орбите, электрон не излучает электромагнитной энергии.

3. Излучение происходит при скачкообразном переходе электрона с одной ста­ционарной орбиты на другую. При этом испускается или поглощается квант электромагнитного излучения, энергия которого равна разности энергии атома в конечном и исходном состояниях.

Последнее утверждение требует некоторых пояснений. Энергия электрона, вращаю­щегося вокруг ядра, зависит от радиуса орбиты. Наименьшей энергией электрон обла­дает, находясь на ближайшей к ядру орбите (это так называемое нормальное состояние атома). Для того чтобы перевести электрон на более удаленную от ядра орбиту, нуж­но преодолеть притяжение электрона к положительно заряженному ядру, что требует затраты энергии. Этот процесс осуществляется при поглощении кванта света. Соответ­ственно, энергия атома при таком переходе увеличится, он перейдет в возбужденное состояние. Переход электрона в обратном направлении, т. е. с более удаленной орби­ты на более близкую к ядру, приведет к уменьшению энергии атома; освободившаяся энергия будет выделена в виде кванта электромагнитного излучения. Если обозначить начальную энергию атома при нахождении электрона на более удаленной от ядра ор­бите через Ен, а конечную энергию атома для более близкой к ядру орбиты через Е _к, то энергия кванта, излучаемого при перескоке электрона, выразится разностью: Е = Е_н — Е_к. Принимая во внимание уравнение Планка Е = h×ѵ, получим h×ѵ = Е _н — Е_К, откуда ѵ = (Е_н — Е_К)/ h.

Последнее уравнение позволяет вычислить возможные частоты (или длины волн) излучения, способного испускаться или поглощаться атомом, т. е. рассчитать спектр атома.

Постулаты Бора находились в резком противоречии с положениями классиче­ской физики. С точки зрения классической механики электрон может вращаться по любым орбитам, а классическая электродинамика не допускает движения за­ряженной частицы по круговой орбите без излучения. Но эти постулаты нашли своё оправдание в замечательных результатах, полученных Бором при расчете спектра атома водорода.

Здесь следует отметить, что работа Бора появилась в то время (1913 г.), когда атом­ные спектры многих элементов были изучены и спектральный анализ нашел уже об­ширные применения. Так, с помощью спектрального анализа были открыты благород­ные газы, причем гелий был сначала обнаружен в спектре Солнца и только позже — на Земле. Было ясно, что атомные спектры представляют собой своеобразные «паспорта» элементов. Однако язык этих «паспортов» оставался непонятным; были установленылишь некоторые эмпирические правила, которые описыва­ли расположение линий в атомных спектрах.

Теория Бора объяснила физическую природу атомных спектров как результата перехода атомных электронов с одних стационарных орбит на другие.

Бор не ограничился объяснением уже известных свойств спектра водорода, но на основе своей теории предсказал существование и местоположение неизвест­ных в то время спектральных серий водорода, находящихся в ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра и связанных с переходом электрона на бли­жайшую к ядру орби т у и на орбиты, более удаленные от ядра, чем вторая. Все эти спектральные серии были впоследствии экспериментально обнаружены в замечательном согласии с расчетами Бора.

Однако теория страдала внутренней противоречивостью, которую прекрасно сознавал сам Бор: наряду с постулатами, противоречившими законам механики и электродинамики, в теории Бора эти законы использовались для расчета сил, действующих на электрон в атоме. Оставался неясным и ряд вопросов, связан­ных с самими постулатами Бора, например, где находится электрон в процессе перехода с одной орбиты на другую? Как вытекает из теории относительности, ни один физический процесс не может распространяться со скоростью, превыша­ющей скорость света. Поэтому переход электрона на новую орбиту, отделенную некоторым расстоянием от исходной, не совершается мгновенно, а длится неко­торое время. В течение этого времени электрон должен находиться где-то между исходной и конечной орбитами. Но как раз такие промежуточные состояния «за­прещаются» теорией, поскольку постулируется возможность пребывания элек­трона только на стационарных орбитах.

Наконец, несмотря на усовершенствования, внесенные в теорию Бора другими учеными (была принята во внимание возможность движения электрона в атоме не только по круговым, но и по эллиптическим орбитам, по-разному располо­женным в пространстве), эта теория не смогла объяснить некоторых важных спектральных характеристик многоэлектронных атомов и даже атома водоро­да. Например, оставалась неясной причина различной интенсивности линий в атомном спектре водорода; не объяснялась тонкая структура спектров атомов, заключающаяся в том, что их отдельные линии расщепляются на несколько дру­гих. Сами количественные расчеты многоэлектронных атомов оказались чрез­вычайно сложными и практически неосуществимыми. Теория ошибочно описы­вала магнитные свойства атома водорода, принципиально не могла объяснить образование химической связи в молекулах.

Все же теория Бора была важным этапом в развитии представлений о строе­нии атома; как и гипотеза Планка— Эйнштейна о световых квантах (фотонах), она показала, что нельзя автоматически распространять законы природы, спра­ведливые для больших тел - — объектов макромира, на ничтожно малые объек­ты микромира — атомы, электроны, фотоны. Поэтому и возникла задача раз­работки новой физической теории, пригодной для непротиворечивого описания свойств и поведения объектов микромира. При этом в случае макроскопических тел выводы этой теории должны совпадать с выводами классической механи­ки и электродинамики (так называемый принцип соответствия, выдвинутый Бором).

Эта задача была решена в 20-х годах XX века, после возникновения и развития новой отрасли теоретической физики — квантовой или волновой механики.

Вскоре было установлено, что представление об электроне как частице, под­чиняющейся законам классической механики, является ошибочным.

В 1924 г. Луи де Бройлъ распространил идею о двойственности природы света на вещество, предположив, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, однозначно связанными с массой и энергией. Иными словами, движение частицы было сопоставлено с распространением волны.

Корпускулярные свойства электрона выражаются в его способности прояв­лять свое действие только как целого. Волновые свойства электрона проявля­ются в особенностях его движения, в дифракции и интерференции электронов. Когда мы говорим, что электрон, помимо корпускулярных, обладает и волно­выми свойствами, то подразумеваем, что движение электронов описывается как процесс корпускулярный и волновой.

Создание квантовой механики произошло на пути обобщения представления о корпускулярно-волновой двойственности фотона на все объекты микромираи прежде всего на электроны.

Расстояние между узлами кристаллической решетки различных соединений, между соседними атомами в большинстве молекул и размеры самих атомов соиз­меримы с величиной длины волны. Таким образом, электрон в атоме и моле­куле обладает как свойствами частицы, так и волновыми свойствами. Части­цы, размеры которых соизмеримы с их длиной волны или меньше, называются микрочастицами или микрообъектами. Частицы больших размеров относят к макрообъектам. Правильное описание движения электрона (микрочастицы) в атоме должно учитывать его двойственный характер. Это невозможно в рамках классической механики Ньютона, но оказывается возможным с помощью более общей механики — квантовой (волновой).

В классической механике для определения траектории движения и скорости частицы требуется знание началь­ного импульса и пространственных координат ее положения. Однако в квантовой механике доказывается, что существует ограничение на точность одновременно­го определения этих величин. Это ограничение получило название соотношения неопределенностей

Δp × Δx ≥ 1,

где Δp и Δx —• неопределенность (погрешность) в определении импульса и ко­ординаты частицы, соответственно. Согласно соотношению неопределенностей нельзя одновременно вполне точно измерить импульс и координату электрона в атоме. Если бы удалось измерить координату частицы так точно, что Δx = О, то ошибка в измерении импульса стала бы бесконечно большой. В связи с этим в квантовой механике состояние микрочастицы полностью описывается не ее коор­динатой и скоростью, а некоторой функцией. Эта функция носит вероятностный характер и обозначается греческой буквой «пси» Ѱ. Функция Ѱ, описывающая состояние электрона в атоме или молекуле и являющаяся обычной математиче­ской функцией, часто называется волновой функцией или орбиталью. Волновая функция, подобно амплитуде любого волнового процесса, может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Ѱ -— орбиталъ, математическая функция.

Величина Ѱ² всегда положительна. При этом она обладает важным свойством: чем больше ее значение в данной области пространства, тем выше вероятность того, что электрон проявит здесь свое действие, т. е. что его существование бу­дет обнаружено в каком-либо физическом процессе. Более точным будет сле­дующее утверждение; вероятность обнаружения электрона в некотором малом объеме ΔV выражается произведением Ѱ² × ΔV. Таким образом, сама величина Ѱ² выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства.

Ѱ² × ΔV — мера вероятности нахождения электрона в элементе простран­ства ΔV.

Вероятностью называется значение некоторой действительной функции, которое представляет собой результат опыта или наблюдения. Практически понятие вероятно­сти проявляется в том, что относительная частота случайного события в независимых повторных испытаниях приближается к соответствующей вероятности. Поясним эти понятия на конкретном примере. Возьмем кубик, который имеет одну грань черную, а остальные пять — белые. Здесь действительной функцией является число граней опре­деленного цвета. Если бросать такой кубик большое число раз, то можно подсчитать, что сверху белые грани оказываются в 5 раз чаще, чем черная. При числе испыта­ний (бросков) N черная грань появится приблизительно (1/6)N раз, а белые — (5/б)N раз. Относительная частота появления черной грани будет приблизительно равна 1/6, а вероятность ее появления равна в точности 1/6. Аналогично, вероятность появления сверху белой грани кубика равна 5/6.

Для уяснения физического смысла квадрата волновой функции рассмотрим рис. (показать рисунок), на котором изображен некоторый объем вблизи ядра атома водорода.

Плотность размещения точек на рис. пропорциональна значению Ѱ² в со­ответствующем месте: чем больше величина Ѱ², тем гуще расположены точки. Если бы электрон обладал свойствами материальной точки, то рис. можно было бы получить, многократно наблюдая атом водорода и каждый раз отме­чая местонахождение электрона; плотность размещения точек на рисунке была бы тем больше, чем чаще обнаруживается электрон в соответствующей области пространства или, иначе говоря, чем больше вероятность обнаружения его в этой области. Мы знаем, однако, что представление об электроне как о материальной точке не соответствует его истинной физической природе. Поэтому рис. пра­вильнее рассматривать как схематическое изображение электрона, «размазан­ного» по всему объему атома в виде так называемого электронного облака: чем плотнее расположены точки в том или ином месте, тем больше здесь плотность электронного облака. Иначе говоря, плотность электронного облака пропорциональна квадрату волновой функции. Представление о состоянии электрона как о некотором облаке электрического заряда оказывается удобным, хорошо передает основные особенности пове­дения электрона в атомах и молекулах и будет часто использоваться в последующем изложении. При этом, однако, следует иметь в виду, что электронное облако не имеет определенных, резко очерченных границ: даже на большом расстоянии от ядра существует некоторая. хотя и очень малая, вероятность обнаружения электро­на. Поэтому под электронным облаком условно будем понимать область пространства вблизи ядра атома, в ко­торой сосредоточена преобладающая часть (например,90%) заряда и массы электрона.