Формулы Рэлея — Джинса

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r_l,T не дал желаемых результатов, так как все константы получены эмпирическим путем, и механизм излучения энергии нагретым телом оставался неясным. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости r_l,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877 - 1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

(10.1)

где - средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Для классического осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы .

С использованием зависимости зависимость (10.1) может быть представлена в виде:

(10.2)

Как показал опыт, выражение (17.13) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея - Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Теория Рэлея – Джинса и реальное излучение абсолютно черного тела.

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

Формула Планка

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания:

(10.3)

где h = 6,625×10^-34 Дж×с — постоянная Планка.

Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулы

(10.4)

которые блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот (длин волн) и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики. Сам Макс Планк в объективное существование квантов не поверил до конца своих дней в 1947 году. Ход его рассуждений: «Я построил теорию, позволяющую получить хорошее совпадение с экспериментом».

Однако значение теории Планка в физике трудно переоценить.

· Во-первых, она позволяет получить не только совпадение со всеми эмпирическими законами по форме, но и дает возможность с поразительной точностью вычислить константы законов.

· Во-вторых, термодинамические теории Рэлея-Джинса и Вина получаются из теории Планка как частные предельные случаи.

· В-третьих, введение в физику квантов произвело переворот в познании микромира и в настоящее время само существование физики без квантов невозможно.

В качестве подтверждения всесильности планковской теории излучения получим из формулы Планка закон Стефана-Больцмана.

По определению энергетической светимости абсолютно черного тела

,

где, по теории Планка

Учитывая константы, не зависящие от длины волны излучения

Чтобы вычислить этот не самый простой интеграл, сделаем подстановку

Тогда

Интеграл

Таким образом, получается

, (10.5)

по форме совпадающее с законом Стефана-Больцмана R_e = s T⁴, но самое удивительное заключается в том, что подстановка в (10.5) значений констант после вычислений дает именно 5,67×10^-8 Вт/(м²×К⁴).

В области малых частот, т. е. при h (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого достаточно разложить экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами.

Закон смещения Вина получим с помощью формул (10.4) после дифференцирования по l и приравнивания производной нулю. Второй закон Вина может быть получен после дифференцирования формул (10.4) по Т.

Более того, вычисленные константы С₁ и С₂ близки к экспериментальным.

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.