Разложение определителя по строкам и столбцам

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из вычеркиванием -й строки и -го столбца, в которых находится , умноженный на .

Теорема Лапласа. Любой определитель можно представить в виде суммы произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

, ; (1.4)

, . (1.5)

Равенства (1.4) и (1.5) называются разложениями определителя по -й строке и -му столбцу. Их смысл состоит в том, что вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка – алгебраических дополнений.

6) Определитель со строкой (столбцом) из нулей равен нулю.Определитель с двумя пропорциональными, в частности, с двумя одинаковыми строками равен нулю.

7) Если к какой-нибудь строке (столбцу) определителя добавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.