Основные соотношения четырехполюсника

Рассмотрим синусоидальный режим четырехполюсника. Выберем положительные направления токов и напряжений.

Допустим, что четырехполюсник содержит независимых контуров (рис. 9.1). Поставим задачу связать входные величины ( и ) с выходными величинами ( и ). В качестве первого выберем контур, включающий источник энергии, присоединенный к выходным зажимам 1, 1^/. В качестве второго – контур, содержащий приемник, подключенный к выходным зажимам 2, 2^/.

Составим уравнения по методу контурных токов. Собственные и общие сопротивления контуров внутри четырехполюсника снабдим штрихом (^/).

,

…………………………………………..

.

Отсюда найдем токи = , = , где Δ _ij - адъюнкта элемента . Дроби при напряжениях имеют размерность проводимости, поэтому обозначим: , - , , - .

Для линейных четырехполюсников , поэтому .

Тогда уравнения четырехполюсников получат вид:

, (9.1)

или в матричной форме:

= , = , = , где - матрица проводимости.

Так как , то – симметричная матрица.

(9.1) - первая форма записиуравнений четырехполюсника. Записывая эти уравнения относительно напряжений, получим вторую форму записиуравнений:

, (9.2)

или в матричной форме:

, = - матрица сопротивлений,

где

₁₁ = , ₂₂ = , ₁₂ = , ₂₁ = .

Т.к. , то .

Наибольшее распространение получили уравнения четырехполюсника в форме записи, при которой входные величины и выражаются через выходные и

, (9.3)

или в матричной форме: - цепочная матрица,

= , , , = - .

и имеют нулевую размерность; имеет размерность сопротивления,

имеет размерность проводимости.

Так как , то . Эта связь, а также соотношения и показывают, что независимо от формы записи уравнений четырехполюсника, независимыми являются трипараметра. Это значит, что при синусоидальном режиме свойства четырехполюсника определяются тремя параметрами.

Если поменять местами входные и выходные зажимы, то получим схему (на рис. 9.2).

Сравнивая рис. 9.1 и рис. 9.2, видим, что поменялись местами напряжения и c сохранением знака и токи и - с переменой знака. Сделаем эту замену в уравнениях (9.3). Получим ₂ = ₁ + , = ₁ - .

Отсюда, учитывая , получим:

₁ = ₂+ , = ₂ + . (9.4)

Таким образом, при замене местами входных и выходных зажимов в уравнениях четырехполюсника меняются местами величины и .

Если свойства четырехполюсника одинаковы со стороны входных и выходных зажимов, то . Такие четырехполюсники называются симметричными. Для них независимыми являются только два параметра.

При принятых на рис. 9.1 и рис. 9.2 положительных направлениях напряжений и токов энергия от источника поступает в четырехполюсник, а от четырехполюсника она поступает к нагрузке. Иногда можно встретить уравнения четырехполюсника, полученные в предположении, что энергия поступает в четырехполюсник как со стороны входных, так и со стороны выходных зажимов. Это значит, что положительное направление тока изменяется на обратное, так что схема четырехполюсника представляется в виде, показанном на рис. 9.3.

Уравнения для этой схемы получим из вышеприведенных уравнений (9.1), изменив знак перед . Однако, чтобы сохранить принятую запись уравнений и для этой схемы, надо положить:

, - , , - .

В уравнениях ₁+ ₂, ₁+ ₂ заметим, что , так как . Таким образом, по сравнению с предыдущим случаем изменим знак у параметров и . Это приводит к тому, что: 1) изменится знак у , 2) к равенству , 3) к уравнению .

В заключение отметим, что безразлично как задавать положительное направление тока .

9.2. Эквивалентные схемы четырехполюсника

Свойства активного четырехполюсника определяются тремя независимыми параметрами. Поэтому схема замещения должна содержать три элемента. Типовыми являются Т-образная (рис. 9.4) и П-образная схемы замещения (рис. 9.5).

Задача заключается в том, чтобы выразить входящие в эти схемы параметры через и .

Для T-схемы имеем уравнения: , .

Oтсюда получаем

,

.

Таким образом: , , , и

Для П-образной схемы получаем:

,

,

.

Таким образом,

, и

, , .

Для симметричного четырехполюсника , поэтому в эквивалентных схемах