Теорема о замене переменных в неопределенном интеграле

Теорема об общем виде первообразной функции.

Т Пусть – первообразная на . Тогда любая первообразная

функции на имеет вид: , где – постоянная.

Доказательство:

Если – первообразная функции на и – некоторая другая первообразная, то, по определению первообразной, и дифференцируемы на и , т.е. .

Тогда, по критерию постоянства функции или

Свойства неопределенного интеграла (о взаимообратности операций интегрирования и дифференцирования, свойство линейности операции интегрирования).

1. Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то на нем

Доказательство:

2. Пусть и имеют первообразные на некотором интервале,

тогда на этом промежутке имеют первообразные следующие функции,

а именно , , где

Доказательство:

Доказательство:

Теорема о замене переменных в неопределенном интеграле.

Т Пусть функции и определены на промежутках и соответственно, причем , т. е. все значения функции принадлежат .

Если функция имеет на первообразную , а функция дифференцируема на , то следующая функция имеет на первообразную и при этом выполняется равенство:

Доказательство:

Т.к. все значения ,

то на определены сложные функции и .

Далее, т.к. - первообразная функции на , то , .

Учитывая, что по условию функция также дифференцируема на .

Тогда по теореме о дифференцируемости сложной функции

можно найти производную от функции:

Последнее означает, что: является

первообразной функции на .

Таким образом,

С другой стороны, по теореме об общем виде первообразной:

Подставим в него вместо :

Учитывая, что и равны правые части, то левые части тоже равны:

Замечание 1.

На этой формуле основан метод занесения под знак дифференциала.

Замечание 2.

Если функция имеет обратную функцию , то:

На этой формуле основан метод подстановки или замены переменной.