Дискретные системы

Мы уже говорили, что система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества входов U, выходов Y или времен Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество.

Если система дискретна по множеству времен Т и непрерывна по множествам входов U и выходов Y, то для моделирования таких систем используются системы конечно-разностных уравнений.

Такие модели используются, например, для моделирования цифровых СУ, где в контуре управления используется ЭВМ.

Функционирование таких систем рассматривается только в определенные моменты времени. Для описания таких систем используется аппарат решетчатых функций:

Рис. 4.1. Дискретный сигнал

Квантование и восстановление квантованного сигнала в форму, близкую к исходному сигналу, выполняется устройством квантования и экстраполятором нулевого порядка (фиксатором). Как показано на рисунке 4.2 (в), выходной сигнал экстраполятора нулевого порядка в течение всего периода квантования сохраняет постоянное значение, которое равно значению непрерывного сигнала в момент квантования (идеальный квантователь имеет на выходе последовательность δ-функций с соответствующими весами). Период квантования обозначается символом Т,и равен промежутку времени между моментами времени квантования.

Рис. 4.2. Процедура формирования дискретного сигнала

Дискретный регулятор выполняет функции корректирующего устройства. Входным интерфейсом регулятора является аналого-цифровой преобразователь (АЦП), который преобразует ступенчатый аналоговый сигнал, изображенный на рис. 4.2 (в), в числовую последовательность, как показано на рис. 4.2 (г). Цепь, включающая квантователь и экстраполятор нулевого порядка, и эквивалентный блок системы Simulink изображены на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Квантователь и фиксатор нулевого порядка.

Дискретные модели для моделирования управляемых систем, описываемых разностными уравнениями, собраны в разделе Discrete библиотеки Simulink. Здесь собраны дискретные блоки-аналоги непрерывных блоков из раздела Continuous.

1) Блок Unit Delay (Задержка)

Элемент задержки на время Т (период квантования) является основным элементом, используемым при построении схем моделирования дискретных систем. Разностное уравнение записывается в виде

На рис. 4.4 приведены эквивалентные изображения элемента задержки и показано изображение блока Unit Delay в системе Simulink (рис. 4.4 (в)).

Рис. 4.4. Эквивалентные изображения элемента задержки

2) Блок Discrete-Time Integrator (Численное интегрирование)

При приближенном вычислении определенного интеграла он заменяется квадратурной суммой интегралов на частичных непересекающихся отрезках вида [(k- 1) Т, kТ ]. По сеточному представлению формульной функции на частичном отрезке строится интерполяционный многочлен некоторой степени, который служит для аппроксимации интеграла на данном отрезке. Выходная переменная блока в этом случае записывается в виде:

где u (t) – входная переменная, у (k)– выходная переменная в момент времени kТ, Т – период квантования.

Формулы численного интегрирования, реализуемые в данном блоке, включают: явный метод Эйлера, неявный метод Эйлера и метод трапеции. Данные методы позволяют приближенно заменить определенный интеграл конечной суммой интегралов.

Интегрирование по явному методу Эйлера. Метод заключается в вычислении определенного интеграла функции, определяемой разностным уравнением

z-преобразование уравнения записывается как

После преобразования дискретная передаточная функция интегрирования по явному методу Эйлера имеет вид

Рис. 4.5. Численное интегрирование по явному методу Эйлера.

Интегрирование по неявному методу Эйлера Данный приближенный метод вычисления определенного интеграла основан на записи разностного уравнения, связывающего значения у (k), у (k- 1), и (k):

у (k) =у (k- 1) + Ти (k)

Дискретная передаточная функция метода интегрирования по неявному методу Эйлера (рис. 4.6 а) записывается в виде

Интегрирование по методу трапеции На частичном отрезке [(k- 1) Т, kТ ]формула трапеции имеет вид

и получается заменой подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени. Разностное уравнение имеет вид

Дискретная передаточная функция данного метода (рис. 4.6 б) записывается в виде

а) Численное интегрирование б) Численное интегрирование

по неявному методу Эйлера по методу трапеций

Рис. 4.6.

На рис. 4.7 приведены три изображения блоков системы Simulink, реализующих процедуры численного интегрирования по явному методу Эйлера - Forward Euler (а), неявному методу Эйлера Backward Euler (б) и методу трапеции (в) (Trapezoidal). Первые два метода в равной степени распространены в практике расчетных работ, метод трапеций используется реже. Оценка погрешности формул Эйлера и трапеции имеет одинаковый порядок точности (третий для частичного отрезка и второй для составной формулы, однако, погрешность формул Эйлера оценивается в два раза большей величиной). Задание параметров блока Discrete-Time Integrator позволяет устанавливать начальные условия на выходе блока.

Рис. 4.7. Блок Discrete Integrator

3) Discrete Transfer Fcn – дискретная передаточная функция

4) Discrete State Space – дискретная система в форме пространства состояния.

Здесь A, B, C и D – матрицы соответствующих размеров. Их необходимо задать в параметрах настройки блока.

Все дискретные блоки имеют встроенные квантователь по времени на входе и экстраполятор нулевого порядка на выходе. Если дискретные блоки используются в модели Simulink совместно с непрерывными, то сигнал между моментами квантования на выходах дискретных блоков держится постоянным.