Принципы построения математических моделей систем

По способу построения математические модели делят на теоретические, эмпирические (от греческого слова – опыт).

Эмпирические модели являются итогом обработки результатов наблюдений внешних проявлений этих свойств и процессов. При построении эмпирических моделей используется модель черного ящика (рис. 5).

На вход ТО подается набор входных сигналов. По результатам наблюдения за выходными координатами ТО решается задачу идентификации –восстанавливается зависимость y = F(u). Результаты могут обобщаться в виде аналитической зависимости, либо в алгоритмической форме.

Теоретические модели (аналитические модели) получают на основании изучения свойств технического объекта и протекающих в них процессов. При этом используются фундаментальные законы физики, химии и других наук. Это, например, законы сохранения вещества и энергии (уравнения материального баланса).

Основной задачей при построении математической модели является выделение существенных для данного исследования свойств исходного объекта. При построении математической модели осуществляется сбор фактических данных (на основе изучения литературы и технической документации, проведения натурных экспериментов, сбора экспертной информации и т.д.), а также выдвижение гипотез относительно значений параметров и переменных, для которых отсутствует возможность получения фактических данных. Полученные результаты служат основанием для отнесения моделируемой системы к одному из известных типов (классов).

Пример 1. Простая система регулирования температуры. Схема такой системы изображена на следующем рисунке:

В бак втекает жидкость с температурой Т_i. Обозначим через G – расход жидкости на входе и на выходе бака (массовый). Для простоты будем считать их одинаковыми.

Из бака вытекает жидкость T > Т_i.

Нагрев жидкости осуществляется электрическим нагревателем. Смеситель обеспечивает равномерное распределение температуры по всему объему бака.

Запишем уравнение теплового баланса:

То есть, количество тепла поступающего в бак, должно равняться количеству тепла, уходящему из бака, плюс количества тепла, накопленного жидкостью.

Здесь:

С – теплоемкость жидкости в баке;

с – удельная теплоемкость жидкости.

q_e (t) – тепловой поток от электрического обогревателя;

Поток через стенки бака равен:

где R – сопротивление тепловому потоку через стенки бака.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Независимыми входными переменными являются q_e, T_i и T_в.

T_i и T_в – это возмущающие воздействия. На эти переменные мы влиять не можем и они могут вызвать нежелательную реакцию объекта.

q_e – тепловой поток от нагревателя – это управляющее воздействие.

Регулируемой величиной является температура T, ее мы принимаем за выходную переменную. Цель управления – это поддержание температуры на заданном уровне или изменение ее по определенному закону.

На ранних этапах моделирования целесообразно стремиться, чтобы модель была как можно проще, но учитывала все существенные факторы. Является тот или иной фактор существенным или нет, зависит и от диапазона изменения параметров.

Пример 2. Математическая модель, описывающая малые свободные колебания маятника:

.

Если длина маятника невелика (l = 1 м), то явно не надо учитывать зависимость ускорения силы тяжести от высоты. Но если длина значительна (l = 1 км), то это надо учитывать обязательно.

Достоинства аналитических методов:

· не требуют проведения экспериментов на реальном объекте;

· позволяют определить математическое описание еще на стадии проектирования системы управления;

· обеспечивают получение универсального математического описания, пригодного для широкого класса аналогичных объектов управления.

Недостатки:

· трудность получения достаточно точной математической модели, учитывающей все особенности реального объекта;

· проверка адекватности модели и реального процесса требуют проведения натурных экспериментов;

· многие математические модели имеют ряд трудно оцениваемых в численном выражении параметров (например, константы скоростей химических реакций).

На практике наиболее эффективны комбинированные методы построения математической модели объекта. При этом вид уравнений определяется на основании теории (фундаментальных законов), а коэффициенты определяются на основании обработки экспериментальных данных. Такие модели называются полуэмпирическими. При построении таких моделей используют основные положения теории размерностей, в том числе π-теорему.