Погрешности численных методов анализа динамики мат моделей систем

Источники погрешностей:

1. может оказаться, что нач усл-я x(t₀) известны неточно и опред-ся в рез-те эксперимента или в рез-те реш-я какой-либо другой задачи. В данном случае вместо точного нач. усл-я приходится исп-ть его приближение. А вместо задачи Коши решать задачу , (1.1)

с изменяемыми нач усл-ями . Т.о., реш-е задачи (1.1) зависит от и не совпадает с искомым реш-ем x(t).

наз-ся неустранимой погрешностью реш-я .

2. погрешность округления обусловлена ограничениями представления чисел на ЭВМ и как следствие погрешность вычисляется правой части ур-я (1.2) и по формуле (1.3). Фактически найденные знач-я удовлетворяет не уравнению (1.3), а условию

- наз-ся погрешностью округления на k-том шаге.

3. погрешность метода или сечения

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Погреш-ть м-да связана с тем, что при аппроксимации ф-ции правой части ур-я (1.2) вместо бесконечных рядов часто исп-ся лишь несколько первых членов. Данная погрешность может быть определена как разность м/у истинным знач-ем реш-я (1.1) и его приближенным знач-ем , полученное по ф-ле (1.3).

(1.4) разность м/у точным реш-ем задачи (1.2) и приближенным фактически найденным знач-ем наз-ся полной погреш-тью приближенного реш-я (1.5). (1.6) наз-ся вычислительной погреш-тью. Исходя из соотношений погреш-ти , (1.4), (1.5), (1.6) следует (1.7).

Полная погреш-ть приближенного м-да равна сумме неустранимой погреш-ти, погреш-ти м-да и вычислительной погреш-ти. Указанные источники погреш-ти явл-ся причиной наблюдаемости 2-х ошибок: 1. локальные ошибки; 2. глобальные ошибки.

20. Численные м-ды анализа динамики мат. моделей: одношаговые м-ды реш-я задачи Коши

Пусть требуется найти реш-я задачи (1.1) на отрезке . Разобьем данный отрезок точками эти точки наз. сеткой, а N узлами сетки.

Рассмотрим м-ды вида (1.2), который послед-но дает приближ-е к знач-ю точного реш-я в каждом узле сетки на основе известного приближ-я в предыдущем узле .

В общем виде их можно записать:

Простейшим одношаговым м-дом явл-ся м-д Эйлера. Он основан на разложении реш-й x(t) в окрестности точки в ряд Тейлора. Если предположить, что правая часть ур-я f=x(t) диф ур-ем (1.1) имеет непрерывные частные производные до порядка s, то искомые реш-я x(t), также имеют непрерывные производные до (s+1) порядка, при этом точное реш-е в узле будет иметь вид:

(1.3)

, k=0,1,…,N (1.4)

Предположение, что h мало можно пренебречь в ур-е (1.3) членами содержащими h во II или более порядками, тогда явный м-д Эйлера может быть определен след образом (1.4). Т.о., можно получить приближенное знач-е зависимой перем-ой при малом смещении h от текущей точки. Следует отметить, что разлож-е x(t) в ряд Тейлора, аналогично (1.4) можно выполнить и в окрестности точки .

(1.5)

,

М-ды, полученные по этой ф-ле, образуют семейство одношаговых м-дов. Простейшим из них явл-ся неявный м-д Эйлера, получаемый из ур-я (1.5).

Нем. математик Рунге предложил след. идею, основанную на вычислении приближенного реш-я в узле в виде лин-ой комбинации с постоянными коэф-тами:

(1.6)

где ,

Числа , , выбираются так, чтобы разлож-е выраж-я (1.6) по степеням h совпало с разлож-ем (1.3) или (1.5) до максимально возможной степени при произвольной правой части и произвольном шаге h. Если ввести вспомогательную функцию , то разлож-е по степеням h должно начинаться с max возможной степени.

Величина φ(h) наз погрешностью м-да на данном шаге или локальной погреш-тью м-да.

Ф-ла (1.6) образует семейство м-дов Рунге-Кутта порядка s и для их реализации требуется s вычислений функции f(t, x(t)), представляющих собой производные реш-я.

Если =0 при j≥i для всех i, то вычисляется в явном виде. Если =0 при j>i и , то каждая неявно определяется ур-ем: . В данном случае необходимо каким-либо способом вычислить , например, с помощью итерации по м-ду Ньютона.

Примером явного м-да Рунге-Кутта явл-ся м-д Хойна, к-рый в случае, если правая часть ур-я (1.1) не зависит от t переходит в квадратичную форму трапеции, при этом s=2, a₁₁=0, a₁₂=0, a₂₁=1, a₂₂=0, b₁=b₂=0,5, c₁=0, c₂=0.

, ,

Всем одношаговым м-дам присуще общие черты: 1. чтобы получить инф-цию о новом узле необх-мо иметь инф-цию об одном предыдущем; 2. в основе всех одношаговых м-дов лежит разлож-е функции правой части ур-я (1.1) в ряд Тейлора; 3. все одношаговые м-ды не требуют действительного вычисления производной, вычисляется лишь сама функция, знач-е к-рой могут потребоваться в неск-ких промежуточных точках.

22. Анализ статики математических моделей систем

Задача анализа статики возникает обычно при определе­нии статических характеристик системы или начальных ус­ловий для задачи анализа динамики и, как правило, пред­шествует последней. Поэтому основной целью расчета ста­тики является определение неизвестных векторов выхода У=у(t) и состояния x=x(t) по заданным постоянным значениям вектора входа u=u(t) для фиксированного мо­мента времени при условии, что x(t)=0. В зависимости от вида вектор-функции, описывающей связи в ММС. для заданных и. и /* может быть несколько статических режи­мов. В этом случае ММС называется многостабильной и ре­шение задачи анализа статики неоднозначно.

Существует несколько подходов к решению задач ана­лиза статики.

Первый подход (метод установления) основан на числен­ном интегрировании исходной системы обыкновенных диффе­ренциальных уравнений. Реше­ние такой системы при неизменном векторе входов с не­которых исходных значений состояния через достаточ­ный промежуток моделируемого времени должно привести

к приближенно стационарной точке, в которой х(t.)=0. Эта точка и будет точкой решения y(t,), x(t.).

Подход к анализу статики через интегрирование диффе­ренциальных уравнений численными методами получил достаточно широкое распространение, так как позво­ляет с помощью одних и тех же методов решать как статические, так и динамические задачи. Однако при этом, как правило, получаются завышенные затраты машинного времени.

Более экономичны подходы, в которых в качестве ММС берется система нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ):

F(v)=0, (1.1)

где v — вектор неизвестных, F — заданная век­тор-функция.

Второй подход (итерационный) основан на применении методов решения СНАУ. В большинстве случаев эти методы являются итерационными. При этом задаются начальным приближением v₀ и выполняют ряд однотипных итераций. Если вектор приближений на k-oй итерации v_k стремится к вектору решения vk то говорят, что метод сходится.

В третьем подходе к решению задач анализа статики по­следние представляются как экстремальные. Для этого обра­зуется скалярная целевая функция, имеющая минимум в точке решения задачи vk.

Вычисление и. производится с применением методов оптимизации

23. Аналитические методы анализа статики мат моделей: метод возмущений.

Аналитические методы

Аналитические методы для СНАУ (1.1) позволяют полу­чить решение в виде формул. Точные методы позволяют по­лучить решение, используя аналитические (формульные) за­висимости. Приближенные методы основаны на построении аналитических зависимостей, аппроксимирующих решение.

Метод возмущений

Пусть требуется найти решение СНАУ вида

F(x, е)=0,

где x — неизвестный вектор, е — числовой малый пара­метр. Предположим, что при е=0 система может быть сравнительно легко решена и найдено приближение х₀. Возьмем в качестве нового приближения к решению x, x= x0+ex1. Подставим х в (1.6) и разрешим ее относитель­но Х1. Продолжая аналогично, можно получить некоторый итеративный процесс, при котором решение (1.6) представ­ляется в виде

х=

Если при e=0 вектор-функция F{x, 0) хорошо прибли­жает F(x,е), то методы подобного типа оказываются весьма эффективными на практике.

24 Метод асимптотических разложений

В случаях, когда нельзя получить начальное приближе­ние решения Хо, положив е=0, или при вырожденности матрицы

можно получить решение в виде ряда

где φ—некоторые функции, зависящие от малого параметра, которые строятся таким образом, чтобы выполнялось условие

Ряд при этом называется асимптотическим разложе­нием решения х.

25 Численные методы

При решении задач анализа статики ММС (1.1) основ­ным инструментом являются численные методы, позволяю­щие свести решение к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. При этом результаты полу­чаются также в виде чисел.

При численном решении СНАУ (1.1) следует учитывать, что не существует математических результатов, позво­ляющих в общем виде решить вопрос о существовании и числе решений. Поиск решения можно представить как поиск в пространстве R^k точек, общих для k поверхностей, каждая из которых задается уравнением системы.

Другой важной особенностью численного решения систе­мы является то, что из-за нелинейности ММС в общем случае нельзя применять прямые методы (например, метод последовательного исключения). Поэтому разработанные ме­тоды решения являются итерационными: начиная с началь­ного вектора последовательно при­ближаются к решению с помощью итерационной процедуры

вида

Этот метод состоит в следующем: система уравнений преобразуется к виду

v=G(v)

и итерации проводятся по формуле

г=0, 1....

1.2.2. Метод Ньютона и его модификации

Если известно достаточно хорошее начальное приближе­ние v° к решению системы, то эффективным для повы­шения точности является метод Ньютона, основанный на за­мене в окрестности v^r исходной нелинейной задачи не­которой вспомогательной линейной задачей.

1.2.3. Метод продолжения по параметру

Этот метод представляет собой алгоритм, позволяющий с помощью итераций получить решение СНАУ (1.1). Его эф­фективность не зависит от «удачного» выбора начального приближения. Суть метода состоит в том, что наряду с ис­ходной системой (1.1) рассматривается другая:

G(v)=0,

решение которой известно. Затем, «деформируя» уравнение, превратим его в с помощью конечного числа Л' последовательных малых приращений параметров:

G^r(v) = С (v) + [F(v) — G^r-l(v)]

21. Многошаговые методы решения задачи Коши

Рассматриваются численные методы ре­шения з-чи Коши. При этом значение решения x_k в точке t_k опред через значение решения в m точках, предшествующих t_k. Такой метод наз m-шаговым. Из этого класса выделяются линейные многошаговые методы вида

применяемые на сетке с пост шагом tk=o+hk, k= =0, 1,..., N. Разность между наибольшим и наименьшим значениями индекса неизвестной ф-ции Xk из равна m. Поэтому ур-ие явл разностным ур-нием m-го порядка, общее решение к-ого зависит от m параметров. Чтобы выделить ед-нное решение этого у-ния, необходимо задать m дополнит-ых условий на ф-ию Xk к-ыми явл знач-я ф-ии Xk при к=0, 1,..., m —1 и предполагаются известными. Т.о. численные методы данного класса состоят в р-ии разностной з-чи Коши для разностного ур-ия; Если искомое р-ние Xk+m входит в правую часть ур-ния (bm≠0), то метод наз. неявным. В Противном случае (bm≠0) ур-ние может быть явно разрешено относительно Хк_т. В этом случае определяет явный метод. Методы, задаваемые часто называются конечно-разностными схемами.

В качестве примеров рассмотрим часто используемые методы прогноза и коррекции. В методе Милна на этапе прогноза испол формула

а на этапе коррекции — формула Симпсона:

Этот м-д относится к м-дам четвертого порядка точности. практич-их расчетах м-д Милна использ реже, чем др., т.к ему присуща неустойчивость Это означает, что сумарная погрешность может расти экспоненциально, особенно при интегрировании на больших интервалах [t₀, Т].

М-д Адамса — Башфорта также имеет четвертый порядок точности. Использ в нем ф-ла прогноза получена интегрированием обратной интерполяционной ф-лы Ньютона и имеет вид

этапе коррекции испол-ся ф-ла

Расчеты по этому м-ду аналогичны м-ду Милна, однако ф-ла явл-ся устойчивой.

В м-де Хэмминга испол-ся ф-лы прогноза:

и коррекции:

М-д имеет 4 порядок точности. Особенность его в том что он позволяет оценивать погрешности, вносимые на стадиях прогноза и коррекции, и устранять их. Благодаря простоте и устойчивости этот метод является наиболее распространенным среди применяемых в практических расчетах.

Отдельный класс методов вида составляют ме­тоды, основанные на формулах дифф-ния назад (ФДН) [Общий вид этих формул:

где hk==tk — tk-i — величина к-го шага интегрирования, ai — коэффициенты, величина которых зависит от порядка m формулы (2.44) и значений т предшествующих шагов интегрирования

26. теорема о сжимающем отображении: пусть Н – оператор, отображающий областьД. Если для некоторой нормы существует такое что (1)при х и у принадлежащим Д, то существует единственная и неподвижная точка Д, что Н()= . Для любых Д последовательность удовлетворяет соотношению ,r=0,1,2… сходится линейно к с соnst . Для любого ,

Итерационная ф-ция Н удовлетворяет условию (1) называется сжимающей в обл. Д, т.е. из данного св-ва следует, что начиная из любой данной точки Д длина шага уменьшается при каждой итерации по крайней мере на сомножитель т.к. = . Теорема может быть использована только для установления линейной сходимости.

27. численные методы анализа статики математических моделей систем: метод продолжения по параметру. Суть м-да состоит в том, что наряду с исходной с-мой F(x; )=0(1) рассматривается и другая G(v)=0,решение кот. известно. Затем деформируя это уравнение, его превращают в (1) с помощью конечного числа N последовательно малых приращений: . Решение V можно использовать как исходное значение переменных для итерационного решения ур-я V(v)=0. В процессе счета реш-е используется как исходное решение . Когда r=N то решаемая сис-а Ур-ний становится эквивалентной исходной. Если исх-е Ур-е(1) не содержит параметров позволяющих получить сис-у G(v)=0 то его можно ввести искусственно следующим образом: , где - вводимый параметр. - начальное приближение при система преобразуется к виду аналогичному G(v)=0, а при - к исходной системе.

28. понятие имитационного моделирования. Имитац-е мод-е представляет собой численный м-д вычисл-х экспериментов с ММ имитирующими поведения реальных объектов, процессов и систем во времени течении заданного периода. При этом функционирование реальных сис-м разбивается на элементарные явления подсистемы и модуля. Их функционирование описывается набором алгоритмов, которые имитируют реальные явления с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

29. Вероятностные аналитические и вероятностные имитационные модели. Одним из видов им.мод. явл-ся статистическое им.мод. Оно позволяет воспроизводить на ЭВМ функционирование сложных случ. процессов. При исследовании сложных систем подверженных случ. воздействиям исп-ся: а) вероятностные аналитич. мод.(ВАМ), б) вероятностные им. мод.(ВИМ). В ВАМ влияние случ. факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случ. процессов. В ВИМ оперируют с конкретными случ-ми числовыми значениями параметров. При этом полученные рез. явл-ся случ. реализациями. При реализации на ЭВМ статистич и им.мод. возникает задача получения на ЭВМ случ. числовых значений с заданными вероятностными характеристиками.

30. Программные средства для решения задач моделирования. При решении задач в мод-и анализа и синтеза САУ исп-ют различ. прог. ср-ва предназначенные для матеметич. выч-ий в тех. приложениях- MATLAB, MATCAD, EXCEL и т.д. Система MATLAB создана как язык программирования высокого уровня для тех. вычислений. Система имеет открытую архитектуру и современные версии, поставляется вместе с пакетом расширения Sumlink. В системе реализован принцип визуально-ориентированного программирования. Уравнения состояний описывающие динамич. системы формируются автоматически. Имеются виртуальные средства регистрации и визуализации результатов моделирования. Ф-ция системы позволяет в интерактивном движении выполнять сложные математич. вычисл-я, разрабатывать алгоритмы, выполнять эксперименты и им.мод. AnyLogic графическая среда для моделирования слож. дискретных непрерывных систем, а так же нескольких движущихся объектов, которые исчезают и появляются при взаимодействии друг с другом. Dynast программное обеспечение для расчета переходных процессов символического и частного анализа линеаризованных систем, описываемые системой диф. ур-ий, алгебраических ур-ий и блок схемами. М.В.Т.У.-программа моделирования в тех. устройствах является отечественной разработкой с классич. интерфейсом блочного моделирования. SamSim моделирование линейных и нелинейных цепей, построение временных, частотных характеристик, фазовых портретов и годографов. Копрас-комплекс программ для решения задач анализа и синтеза автоматич. систем.